宿題1［10/25］

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前
課
機械工学科（先端機械）：物理学
宿題 1（10 月 25 日）
題
図のように，質量 m のおもりの右側はダンパーに，左側
1.
2
6
λ = 10
= 20
= 40
はばね定数 k のばねを通じて駆動装置に接続されている．ダ
5
ンパーは速度に比例する抵抗力を及ぼすものとする．駆動装置
により左端の位置 ξ を振幅 L 角振動数 p で単振動させたとこ
4
C(p)
ろ，おもりは強制振動を開始した．このとき，おもりのつり合
いの位置からの変位 x は次の運動方程式に従う．
[
]
d2 x
dx
=
−k
x
−
L
sin(pt)
−h
dt2
dt
3
(1)
2
ここに，h はダンパーの粘性抵抗力（速度に比例する抵抗）の
1
m
係数である．整理して得られる２階の定数係数線形常微分方
0
程式
0
0.5
1
1.5
p/ω
d2 x
dx
+ 2λ
+ ω 2 x = ℓ sin(pt)
2
dt
dt
b
k
kL
2λ = , ω 2 = , ℓ =
m
m
m
(2)
(3)
について以下の問いに答えなさい．
¶
f = −hv
¥ k
m
x
ξ
¼
(
i
) 一般解
x(t) は，(1) 式の右辺を 0 とおいた場合（斉次）の
一般解 xs (t) と，(1) 式を満たすある解（特解）の和とし
て以下の様に与えられる．
x(t) = xs (t) + C sin(pt − α)
C=√
ℓ
(ω 2 − λ2 )2 + (2λp)2
2λp
α = arctan 2
ω − p2
(4)
(5)
(6)
右辺第 2 項が特解であり，t → ∞ における定常状態を表
す．この定常解が (1) 式を満たしていることを確かめな
さい．
( ii )
ω = 100, ℓ = 1 × 104 に固定して，λ = 10, 20, 40 と変
化させた場合の，定常解の振幅 C の外力の角振動数 p に
対する依存性を図に描きなさい（図 1 参照）．なお，どの
ように描いたかも詳しく記しなさい．
図 1 強制振動の定常解の振幅 C(p)
2

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