関数（比例関係と一次関数） 1. 関数の定義 2 つの集合 X，Y があって，X のどの要素 x に対しても，Y の要素 y がただひとつだけ対応するとき，その対応を，X から Y への関数という。対応関係の例 ※上の例では，アとウ (この形の対応を多対一対応という)，エ (この形の対応を一対一対応という) が関数である。 2. 座標平面上の点の位置の表し方→図のように，直角に交わる座標軸 (x 軸と y 軸) を基準にして，2 数の組み合わせで表す。 ※座標面上のすべての点は，2 つの有理数の組み合わせで表される。 (目盛り線と目盛り線の間にきた点の座標は目分量で読む。) 1 3. 関数の表し方関数を表すには，場合に応じて，変数の間の対応が正確につかめるとともに，変化するようすがはっきりわかる方法をとる。例 20 入りの石油かんの石油を使った量 (x ) と，そのとき残っている量 (y ) との関係（a）表で表す方法 x () 1 2 3 4 5 … y () 19 18 17 16 15 … （b）式で表す方法 y = 20 − x （c）グラフで表す方法 → 右図 4. 関数のグラフの見方（a）対応する値を正確に読みとる。全体のようすから，変化していく傾向を読みとる。（b）グラフによって，その対応が関数であるかないかの判定ができる。 → x 座標の同じ点が 2 つ以上あれば，「y は x の関数」とはいえない。（c）「y が x の関数」であるとき，x と y の関係を式で表すことができる。 (関数には，式で表すことができないものもある。→例：右図) 5. 関数の式の見方（a）変数と定数関数を表す式は，いろいろな値をとることができる文字 x，y と，一定の数とで作られている。（b）変数の変域何も条件がつけ加えられていないときには，文字 x，y などは，どんな数でもよいはずであるが，具体的な関数では変数の値にある制限があるのがふつうである。変数につけ加えられた制限を変域という。 6. 関数の変化の割合 y が x の関数であるとき，変化の割合＝ y の増加量 x の増加量 2 7. 比例と反比例 ◎いろいろな比例関係の例 Y が X に比例するとき，Y や X が他の変数の式になっていることも考えられる。 y = ax2 y は x の 2 乗に比例する。 y = ax3 y は x の 3 乗に比例する。 a y = 2 y は x の 2 乗に反比例する。 x z = axy z は，x，y の積に比例する。なお，次の見方もできる。 a x a y= 2 x y= → → 1 y = a ・( ) y は x 1 y = a ・( 2 ) y は x 3 1 に比例する。 x 1 に比例する。 x2 8. 関数を表す記号 (高校課程) （a）集合 X から集合 Y への関数対応関係が存在することを示すのに，つぎのような表し方がある。 3で割った余り f X → Y X → Y f : X → Y y = f (x) （f は，function(関数) を意味している。）（b）X から Y への関数が式で表すことができるときには，次のような表し方も使われる。 f : x → y = x + 2 f (x) = x + 2 9. 関数の値 (高校課程) （a）X から Y への関数で，対応の規則がわかっていれば，X のひとつの値に対して，Y の値がひとつきまる。このようにしてきまった Y の値のことを関数の値という。（b）f (x) = 2x − 3 であるとき，x = −1 のときの関数の値を f (−1) のように書いて表すこともある。この例では，f (−1) = 2 × (−1) − 3 = −5 10. 一次関数 (高校課程) （a）関数 y = f (x) が，f (x) = ax + b (ただし，a，b は定数，a=0) の形の式で示されるとき，y は x の一次関数であるという。また，この関係を，y = ax + b と書いて示すこともある。（b）一次関数の見分け方 2 つの変数 x，y の関係が，y = ax + b の形で示されているか、または，移項するなどして，この形に変形できるときには，一次関数であるといえる。 11. 一次関数の式の求め方一次関数では，少なくとも 2 組の対応する値がわかれば，その関数を表す式を求めることができる。例一次関数で，2 組の対応する値が (2，−2)，(4，7) となる場合求める式を，y = ax + b として，これに 2 組の対応する値を代入すると，が成りたつ。これを，a，b について解く。 −2 = 2a + b 7 = 4a + b 12. 一次関数のグラフ例 y = 1.2x − 2(右図) （a）一次関数のグラフは直線になる。（b）y = ax + b のグラフは，a，b の変化にともなって，次のように変わる。 a（＝傾き）の変化 a > 0 のとき，右上がり。傾き a < 0 のとき，右下がり。 b（＝ y切片）の変化直線と y 軸との交点の y 座標 y 切片 b = 0 のとき (y = ax)，グラフは原点を通る。 4 13. 一次関数のグラフの書き方，直線であるグラフの求め方（a）直線は 2 点できまるから，式にあてはまる x，y の値を 2 組求め，その点を座標面上にとって直線で結ぶ。(x 座標，y 座標が，ともに整数になる 2 点を選ぶとよい) （b）グラフから，傾きと y 切片とを読みとる。例右図の 1 で，傾きは −2（∵ x 軸方向に +1，y 軸方向に −2 の割合になっているので)，y 切片は +3 だから，式は， y = −2x + 3 （c）傾きや y 切片がグラフから読みとりにくい場合は，読みとりやすい 2 点の座標をもとにする。例右図の 2 は，2 点 (−2，1) と (3，3) を通っているから， 1 = −2a + b を，a，b について解く。 3 = 3a + b 14. 2 直線の位置関係グラフをかいたときの直線の位置関係は，式を見て判定できる。式を，y = ax + b の形にしたとき， 1 a (傾き) が等しいとき，2 直線は平行。 2 b (y 切片) が等しいとき，y 軸上の同じ点で交わる。 3 傾きの積が −1 になるとき，2 直線は直交する。 15. 一次関数と一次方程式（a）一次関数の対応する値の組は，同じ式を二元一次方程式と見たときの解と考えることができる。（b）一次関数の式で，x の値に対応する y の値を求める計算は式の値を求めることになり，y の値に対応する x の値を求める計算は，一元一次方程式を解くことになる。 16. 方程式とグラフ（a）一元一次方程式のグラフ解 ◎一元一次方程式は，グラフを利用して解くこともできる。 3 例方程式 − x + 5 = 4 4 3 y = − x + 5 のグラフ (右図) をかいて，y = 4 のときの x の値を読みと 4 る。(右図で読みとれる値は 1.3) 《注意》グラフから読みとった値は近似値になるのがふつうである。正確な値と 0.1 程度の差があってもよい。（b）二元一次方程式のグラフ解二元一次方程式の解は，座標面上の直線上の点として示される。例二元一次方程式 3x + 2y = 30 3 y = − x + 15 のグラフ (右図) をかく。x，y の変域をすべての有理数 2 とすると，この直線 (上のすべての点) が解を示す。 x，y の変域を正の整数とすると，この直線上の格子点 (図の・) が解を示す。（c）連立方程式のグラフ解 ◎連立方程式のひとつひとつの二元一次方程式の解は，グラフの直線で示される。したがって，2 つの方程式の解の交わりは，それぞれの方程式を表す 2 直線の交点で示される。 5