2次関数

2 次関数
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO1
y = ax2 のグラフ軸は頂点は ( , )
a > 0 のとき、下に凸 a < 0 のとき、上に凸
y = 3x2 · · · ① のグラフをかけ。
(1) 頂点 ( , )
1. 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めて，そのグラフをかけ。
2
(1) y = −4x2
(2) y = x2
3
y = ax2 + q のグラフ軸は頂点は ( , )
y = 2x2 + 4 · · · ① のグラフをかけ。
(1) 頂点 ( , )
2. 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めて，そのグラフをかけ。
(1) y = 2x2 − 4
(2) y = −x2 + 3
2 次関数
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO2
y = a(x − p)2 のグラフ軸は、頂点の座標は ( , )
y = ax2 のグラフを x 軸方向に p 平行移動したもの
y = (x − 1)2 · · · ① のグラフをかけ。
(1) 頂点 ( , )
(2) ①式に x = 0 を代入して、
y 軸との交点の座標の値を求める。
y 軸との交点 ( , )
1. 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めて，そのグラフをかけ。
1
(1) y = 2(x − 3)2
(2) y = (x + 1)2
2
y = a(x − p)2 + q のグラフ軸の方程式は頂点の座標は ( , )
y = ax2 のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動したもの
y = 2(x − 3)2 + 4 · · · ① のグラフをかけ。
(1) 頂点 ( , )
(2) ①式に x = 0 を代入して、
y 軸との交点の座標の値を求める。
y 軸との交点 ( , )
2. 次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めて，そのグラフをかけ。
(1) y = −2(x − 3)2 + 5
(2) y = 2(x + 3)2 − 4
2 次関数
2
2
2
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO3
x + 2ax = (x + a) − a の式を使って、例にならって、左辺から右辺の式を作りなさい。
例 x2 + 2x = (x + 1)2 − 1
(1) x2 + x =
(2) x2 + 2x =
(3) x2 + 3x =
(4) x2 + 4x =
(5) x2 + 5x =
(6) x2 + 6x =
1. 例にならって、次の２次関数のグラフの頂点と軸を求めて，そのグラフをかけ。
例, y = 2x2 − 4x − 1
= 2(x2 − 2x) − 1
= 2{(x − 1)2 − 1} − 1
= 2(x − 1)2 − 2 − 1
(1) y = −2x2 − 8x − 3
= −2(x2
4x) − 3
= −2{(x
)2 − } − 3
= 2(x − 1)2 − 3
= −2(x
)2 + − 3
軸の方程式 = −2(x
)2 + 頂点の座標 ( , )
軸の方程式頂点の座標 ( , )
(2) y = 2x2 + 6x + 4
(3) y = −3x2 − 6x + 2
軸の方程式軸の方程式頂点の座標 ( , )
頂点の座標 ( , )
2 次関数
2
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO4
1. ２次関数 y = −x − 4x + 5 のグラフは，y = −x2 + 8x − 9 のグラフをどのように平行移動したものか
ヒント：移動された後の頂点の座標から移動する前の頂点の座標を引く
放物線 y = ax2 + bx + c を x 軸方向に p，y 軸方向に q 平行移動した放物線の方程式は
y − q = a(x − p)2 + b(x − p) + c である。
2. 放物線 y = −2x2 − 3x + 1 を x 軸方向に −1，y 軸方向に 3 平行移動した放物線の方程式を求めよ。
放物線 y = ax2 + bx + c を
x 軸に関して対称移動 ⇐⇒ x はそのまま，y を −y に変える
y 軸に関して対称移動 ⇐⇒ x を −x に変え，y はそのまま
原点に関して対称移動 ⇐⇒ x を −x に，y を −y に変える。
3. 放物線 y = 2x2 − 3x − 2 を x 軸，y 軸，原点に関して対称移動した放物線の方程式求めよ。
2 次関数
2
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO5
1) y = ax + bx + c ⇐⇒ ３点を通る場合
2) y = a(x − p)2 + q ⇐⇒ 頂点や軸が分かっている場合
1. ３点 (−1, 0), (2.3), (3, −4) を通る放物線をグラフとする２次関数を求めよ。
[解] 求める２次関数を y = ax2 + bx + c とする。
この関数のグラフが与えられた３点を通るから
a − b + c = · · · ①、 = 3 · · · ②、 = −4 · · · ③
② − ①より、3a + 3b = ∴
= · · · ④
③ − ②より、 = · · · ⑤ ④、⑤を解いて
a = , b = これを①に代入して、c = したがって、求める２次関数は · · · 答
２つの式の差をとって、まずｃを消去せよ。
2. ３点 (1, 0), (2, 1), (3.6) を通る放物線をグラフとする２次関数を求めよ。
3. 次の条件を満たす放物線をグラフとする２次関数を求めよ。
(1) 頂点の座標が (1, 2) で、点 (−1, 6) を通る。 (2) 軸の方程式が x = 2 で、２点 (1, −3), (−1, 13) を通る。
4. y = x2 − 2x + 3 のグラフを平行移動したもので，２点 (1, 3), (−2, 9) を通る
2
放物線をグラフとする２次関数を求めよ。(ヒント：平行移動では x の項は変わらない)
[解] 求める 2 次関数を y = x2 + bx + c とおく
2 次関数
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO6
1. 次の２次関数の最大値または最小値を求めよ。また、そのときの x の値を
求めよ。(グラフをかくこと)
(1) y = x2 − 2x − 3
[解] 右辺の式を変形すると、
y = (x − )2
となるから、この関数の
グラフは右の図のようになり、に凸で
頂点の座標は（ , )
答 x = のとき、最小値最大値は (2) y = −x2 − 4x − 1
[解] 右辺の式を変形すると、
y = −(x
)2
となるから、この関数の
グラフは右の図のようになり、に凸で
頂点の座標は（ , )
答 x = のとき、最大値最小値は 2. 次の２次関数の最大値または最小値を求めよ。また、そのときの x の値を
求めよ。(グラフをかくこと)
(1) y = x2 − 2x − 3 (−2 5 x 5 2)
[解] y = (x − )2
(−2 5 x 5 2)
グラフは右の図の実線の部分である。
答 x = のとき、最大値 x = のとき、最小値グラフを書くために必要なもの
(1) 頂点の座標 ( , )
(2) y 軸との交点の座標 ( , )
(3) x = −2 のときの y の値 y = (4) x = 2 のときの y の値 y = (2) y = −x2 + 6x (−1 5 x 5 2)
[解] y = −(x
)2
(−1 5 x 5 2)
グラフは右の図の実線の部分である。
答 x = のとき、最大値 x = のとき、最小値グラフを書くために必要なもの
(1) 頂点の座標 ( , )
(2) y 軸との交点の座標 ( , )
(3) 端点 x = −1 のときの y の値 y = (4) x = 2 のときの y の値 y = 2 次関数
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO7
１. 軸の位置が決まっている２次関数の最大と最小
解法が分からないときは，係数の文字に適当な数を代入してグラフを書いて考える。
1. 関数 y = −x2 + 6x + c (1 5 x 5 4) · · · ① について，次の問に答えよ。
(1) ①を平方完成せよ。また，c = 1 (2) ①のグラフをかけ。
のとき，グラフをかけ
①より，頂点 ( , )
(3) 最小値が１であるとき，定数 c の
値を求めよ。
x = 1 のとき，y = x = 4 のとき，y = 2. 関数 y = 3x2 + 6x + c (−2 5 x 5 1) の最大値が７であるとき，
定数 c の値と，この関数の最小値を求めよ。
下に凸のとき，定義域の中に軸があるときは頂点で最小。軸から離れている方の定義域の端の値で最大
3. 関数 y = ax2 − 4ax + b (1 5 x 5 4) · · · ① について，次の問に答えよ。ただし a > 0 とする。
(2) ①のグラフをかけ。
(1) ①を平方完成せよ。また，
a = 1, b = 2 のときのグラフ
をかけ。
(3) ①の最大値が 4 で，最小値
が −8 であるとき，定数 a, b の
値を求めよ。
2 次関数
( ) 組 · 番号 ( ) 氏名 ( )NO8
1. ２次関数 y = ax + 2ax + b (−2 5 x 5 2) の最大値が８，最小値が −10 となるような
定数 a, b の値を求めよ。ただし，a < 0 とする。
2
２. 軸が動く (軸 x = 文字) の２次関数の最大と最小
x2 の係数が正で下に凸，定義域が p 5 x 5 q の場合
[最小値]
軸 < p （軸が定義域の左端より左 ⇐⇒ x = p で最小)
p 5 軸 5 q (軸が定義域の中にある。 ⇐⇒ 頂点で最小)
軸 > q （軸が定義域の右端より右 ⇐⇒ x = q で最小)
[最大値]
p+q
軸 <
（軸が定義域のまん中より左 ⇐⇒ x = q で最大)
2
p+q
(軸 = 定義域のまん中の値 ⇐⇒ x = p, q で最大)
軸 =
2
p+q
軸 >
（軸が定義域のまん中より右 ⇐⇒ x = p で最大)
2
2. 関数 y = x2 − 2ax + 2a2 (0 5 x 5 4) について，次の問いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ

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