2学期末数学演習bⅠA選択者用②

2学期末　数学演習b　ⅠA選択者用　②
(　)組(　)番　名前(　)　１
2 次関数 y =3x 2 +6x -5 のグラフの軸は直線
ア
，頂点の座標は
イ
である。
２
a を定数とし，x の 2 次関数 y = x 2 -20 a +21 x + a 2 - a +1 のグラフを G とする。
グラフ G が y 軸に関して対称になるのは a =- ア
イ
G 1 とする。グラフ G が x 軸に接するのは a =-
G 2 とする。グラフ G 1 を x 軸方向に
エ
オ
ウ
のときで，このときのグラフを
のときで，このときのグラフを
，y 軸方向にカキだけ平行移動するとグ
ラフ G 2 に重なる。
３
(1)　関数 y =2x 2 -12x +5 は，x =
(2)　関数 y =-x 2 +5x -1 は，x =
ア
ウ
のとき最小値
のとき最大値
(3)　関数 y =3x 2 -12x +4 0 -2 ( x ( 31 は，x =
x =
キ
のとき最小値
ク
オ
サ
のとき最小値
シ
エ
をとる。
をとる。
のとき最大値
カ
，
をとる。
(4)　関数 y =-2x 2 -6x +1 0 -1 ( x ( 11 は，x =
x =
イ
をとる。
-1-
ヶ
のとき最大値
コ
，
４
x についての 2 つの方程式 x 2 + ax - a -2=0 ，x 2 +2x - a 2 -2a +4=0 が少なくとも 1
つの共通な解をもつとき，a の値は
ア
または
のとき，2 つの共通な解 x = オカ $ U
の共通な解 x =
ク
ケ
キ
イウ
エ
である。そして，a =
をもち，a =
イウ
エ
をもつ。
５
2 次方程式 x 2 -2px +2p +1=0 について
(1)　x =0 を解にもつとき p =
アイ
ウ
である。
(2)　異なる 2 つの正の解をもつとき p >
(3)　異符号の 2 つの解をもつとき p <
エ
カキ
ク
-2-
+U
オ
である。
である。
ア
のとき，ただ 1 つ
１
解説
y =3x 2 +6x -5 =30 x 2 +2x1 -5 =36 0 x + 1 1 2 -17 -5 =30 x + 1 1 2 -8
よって，軸は直線　ア x = -1，頂点の座標は　イ 0 -1， - 8 1
２
解説
G：y = x 2 -20 a +2 1x + a 2 - a +1 …… ①
G が y 軸に関して対称になるのは，G の軸が y 軸になるときである。
① を変形すると
y = 6 x - 0 a + 2 1 7 2 - 0 a + 2 1 2 + a 2 - a +1 = 6 x - 0 a + 2 1 7 2 -5a -3 …… ②
したがって，G の軸は直線 x = a +2 で，これが y 軸と一致するとき
a +2=0 よって　a =-2
これを ② に代入して　y = x 2 +7
この関数のグラフが G 1 である。
G が x 軸に接するのは，G の頂点の y 座標が 0 になるときである。
② より，G の頂点の y 座標は -5a -3 であるから　-5a -3=0
よって　a =-
3
5
これを ② に代入して　y = x - 7
5
8
9
2
この関数のグラフが G 2 である。
G 1 の頂点は　0 0，7 1，　G 2 の頂点は　7
8 5 ，09
G 1 を x 軸方向に p，y 軸方向に q だけ平行移動し，G 2 に重なるとすると
0+ p =
7
7
，7+ q =0 よって　p = ，q =-7
5
5
したがって，G 1 を x 軸方向に
7
，y 軸方向に -7 だけ平行移動すると，G 2 に重なる。
5
３
解説
(1)　y =2x 2 -12x +5 =20 x - 3 1 2 -13
よって，x = ア 3 のとき最小値イ -13 をとる。
(2)　y =-x 2 +5x -1 =- x - 5
2
8
9
2
+
21
4
ウ
エ
よって，x = 5 のとき最大値 21 をとる。
2
4
-3-
(3)　y =3x 2 -12x +4 =30 x - 2 1 2 -8
y
-2 ( x ( 3 から，
40
x = オ -2 のとき　最大値カ 40，
x = キ 2 のとき　最小値ク -8
をとる。
-2
2 3
x
O
-8
8
(4)　y =-2x 2 -6x +1 =-2 x +
3
2
9
2
+
y
11
2
-1 ( x ( 1 から，
5
ヶ
コ
x = -1 のとき　最大値 5，
1
x = サ 1 のとき　最小値シ -7
3
O
2 -1
をとる。
x
-7
４
解説
共通な解を a とすると　a 2 + aa - a -2=0 …… ①
a 2 +2a - a 2 -2a +4=0 …… ②
①-② から　0 a -2 1a + a 2 + a -6=0
すなわち　0 a -2 10 a + a +3 1 =0 よって　a =2 または a =-a -3
a =2 のとき，2 つの方程式はともに x 2 +2x -4=0 となり，2 つの共通な解
x =-1 $ U 5 をもつ。
a =-a -3 のとき，① から　a =このとき，2 つの方程式は　x 2 通な解 x =
7
1
，a =
2
2
7
3
5
x + =0 ，x 2 +2x - =0 となり，ただ 1 つの共
2
2
4
1
をもつ。
2
５
解説
f 0 x 1 = x 2 -2px +2p +1 とする。
y = f 0 x 1 のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = p である。
また，f 0 x 1 =0 の判別式を D とすると　D
= 0 -p 1 2 - 0 2p +1 1 = p 2 -2p -1 である。
4
(1)　f 0 0 1 =2p +1
-4-
よって　2p +1=0 ゆえに　p =-
1
2
(2)　方程式 f 0 x 1 =0 が異なる 2 つの正の解をもつため
の条件は，y = f 0 x 1 のグラフが x 軸の正の部分と異
なる 2 点で交わることである。
したがって，右の図から
D >0 …… ①， f 0 0 1 =2p +1>0 …… ②，
y
f 0 01
+
p
O
軸について　p >0 …… ③
x
① から　p <1- U 2 ，1+ U 2 < p　…… ①　② から　p >-
1
…… ②2
①-，②-，③ の共通範囲を求めて　p >1+ U 2
(3)　方程式 f 0 x 1 =0 が異符号の 2 つの解をもつための条
y
件は，y = f 0 x 1 のグラフが x 軸の正の部分と負の部分
で交わることである。
したがって，右の図から　f 0 0 1 =2p +1<0
よって　p <-
O
1
2
x
f 0 01
-5-

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