関数の増減と極大極小 (改訂版) 定義. 関数 y = f (x) が x = a を境として増加状態から減少状態に変化する時，y = f (x) は x = a において極大であると言い，値 f (a) を極大値と言う．逆に，x = a を境として減少状態から増加状態に変化する時，y = f (x) は x = a において極小であると言い，値 f (a) を極小値と言う．定理. 導関数 f (x) を用いると次の表が成立する: x f (x) f (x) x<a + a 0 極大 a<x − x f (x) f (x) x<a − a a<x 0 + 極小例題 1. 関数 y = x3 − 6x2 + 9x − 3 の極値を求めよ． (解) y = 3x2 − 12x2 + 9 = 3(x2 − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3) より， y = 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0 ⇔ x = 1, 3 y > 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) > 0 ⇔ x < 1 または 3 < x y < 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) < 0 ⇔ 1 < x < 3 増減表を書くと x y y x<1 + 1 1<x<3 3 0 − 0 極大極小 3<x + よって，x = 1 で極大で極大値 y(1) = 1 − 6 + 9 − 3 = 1 であり，x = 3 で極小で極小値 y(3) = 27 − 54 + 27 − 3 = −3．問 1. 極値を求めよ．(1) y = 2x3 − 3x2 − 12x (2) y = −x3 + 2x2 + 4x + 1 例題 2. 関数 y = x2 e−x の極値を求めよ． (解) y = 2xe−x + x2 (−e−x ) = (2x − x2 )e−x = x(2 − x)e−x ．ここで，e−x > 0 に注意すると y = 0 ⇔ x(2 − x) = 0 ⇔ x = 0, 2 y > 0 ⇔ x(2 − x) > 0 ⇔ 0 < x < 2 y < 0 ⇔ x(2 − x) < 0 ⇔ x < 0 または 2 < x 増減表を書くと x y y x<0 − 0 0<x<2 2 0 + 0 極小極大 2<x − よって，x = 0 で極小で極小値 y(0) = 02 e−0 = 0 であり，x = 2 で極大で極大値 y(2) = 22 e−2 = 4e−2 = e42 ．問 2. 極値を求めよ．(1) y = x2 e−2x (2) y = x2 ex (3) y = (x − 2)2 e2x (4) y = (x + 1)2 e−x