線形代数演習 I 小テスト

線形代数演習 I 小テスト
担当：古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 27 日実施
学籍番号
氏名


2x1 + 3x2 − x3 = 11


問題 (1) 連立 1 次方程式
x1 − x2 + 2x3 = −2 を解け．




x1 + x3 = 1


2 −1 0



(2) −1 2 −1
 の逆行列を求めよ．
0
1 −2
線形代数学演習 I
古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 27 日配布
13
行列のランク
• 行列 A を列基本変形によって階段行列

0 · · · 0 c1j1 ∗ · · ·
 0 ···
0

 ..
 .

 0 ···

 0 ···



0 ···
∗
..
.
c2j2
∗
∗
..
.





∗ 

0 



0
···
0
crjr

∗ ···
..
.
に変形したときの r を A の階数，あるいはランクとよび，rk A と表す．
• 連立 1 次方程式 Ax = b が解を持つための必要十分条件は rk A = rk (A | b) となることである．
• n 個の未知変数を含む連立 1 次方程式 Ax = b のが解を持つとき，一般解を表すために必要な
パラメータの数は n − rk A である．
• n 次正方行列 A が正則であるための必要十分条件は rk A = n となることである．
以下の問題は，行列のランクに関する練習問題である．質問がある場合は，事前に
[email protected]
まで都合を問い合わせの上，理学部 C 604 号室に来ること．
練習問題
1. 次の行列の階数を求めよ．また正方行列については正則かどうか述べよ．ただし，a, b ∈ R と
する．


0 3 5



(1) 
2 −1 6 1 2 7


0 a 2


(4) 
0
a 0

0 2a a2
2. A =
(
A1
O
O
A2

5
−3

2


(2) 
0
−3 1
 2
0 −1


1 1 1



(5) 
1 a 1  2
1 1 a

1

(3) 
−1
3
−2
1
2

0

1

3 1 −6 −2


a b b



(6) 
 b a a
b b a
)
のとき，rk A = rk A1 + rk A2 であることを示せ．
3. f : Rn → Rm を行列 A が定める線形写像とするとき，次を証明せよ．
(1) f が単射である必要十分条件は，rk A = n となることである．
(2) f が全射である必要十分条件は，rk A = m となることである．
4. 次の連立 1 次方程式が解を持つために a, b, c ∈ R が満たすべき条件を求めよ．また，そのとき
の解の自由度を求めよ．


x1 − 2x2 + 3x3 = a



−4x1 + 3x2 − x3 = b




3x1 + x2 + 2x3 = c


x − 2x2 − 3x3 + x4 = a

 1

 3x + x + x + 3x = a
1
2
3
4
(3)

2x
+
3x
+
4x
+
2x

1
2
3
4 =b



5x1 − 3x2 − 5x3 + 5x4 = c


x1 + x2 + x3 = 1



(1)
(2)





(4)








x1 + 2x2 + 3x3 = 1
ax1 + bx2 + cx3 = 1
x1 + ax2 + 3x3 + 6x4 = a
x1 + 2x2 + 3x3 + 3ax4 = b + 1
2x1 + x2 + 3x3 + 3x4 = 2b − 1

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