確率及び統計レポート4

確率及び統計レポート 4
065763J 與儀那広
提出日：6 月 12 日
これは平均と等しいので A = a がわかる。また、これをさ
(1)
確率変数 Z が正規分布 N (μ, σ2 ) に従うとき, 確率変
数 aZ(a 6= 0) の分布を特性関数を用いて求めよ。
らに微分して ξ = 0 を代入すると
∂2
φ(²)
∂(i²)2
=
[
]

B(i²)2 σ 2 


(Bσ + Aµ + Bi²σ ) exp Ai²µ +

²=0
2
2
2
= Bσ 2
∫
これは分散と等しいので B = a2 となり特性関数が求まる。
∞
よって確率変数 aZ は
xW (x)dx = µより
< X >=
[
−∞
特性関数 φ² = exp
X = aZ とすると
∫
ai²µ + a (i²) σ 
2
]
をもつ分布になる。
∞
< aZ > =
aZW (x)adz
−∞
∫ ∞
= a
aZW (x)dz
確率変数 X1 , X2 , X3 は互いに独立な正規分布に従い、
−∞
= a < aZ > = aµ(平均)
期待値と分散は次の通りである。
X1 ∼N (− 1, 1)
X2 ∼N (3, 4)
X3 ∼N (5, 2)
確率変数 Y は、次式で表される。
Y = 5X1 + 2X2 − 2X3
また
< (X− < X 2 >)2 >=< X 2 > − < X >2 = σ より
∫
2
∞
< (aZ) > =
−∞
∫
2
a2 Z 2 W (x)adz
∞
= a
(2) 確率変数 Y の分布を求めよ。
aZ 2 W (x)dz
−∞
= a2 < (aZ)2 > より
確率変数 5X1 , 2X2 , 2X3 は互いに独立した正規分布であ
< (aZ− < (aZ) >) > = a < (aZ) > −a < aZ >
2
2
2
2
2
2
= a2 σ 2 (分散)
正規分布の確率密度 W (x) に対して特性関数を
φ(ξ)
=
[
]
B(i²)2 σ 2
exp Ai²µ +
2
で表せるとし、この特性関数を iξ で微分し ξ = 0 を代入す
ると、
∂
φ(²)
∂i²
[
]

B(i²)2 σ 2 


= (Aµ + Bi²σ ) Ai²µ +

²=0
2
= Aµ
2
り、それぞれの期待値、分散の値は
5X1 ∼ N (−5, 25)
2X2 ∼ N (6, 16)
−2X3 ∼ N (−10, 8)
よって正規分布の再生性より
Y ∼ N (−9, 49)
(3)P (− 16 < Y < 1.5) を求めよ
これを標準化を行なうので、
Z=
Y −µ
σ
より、変数を変換して
Z=
Y +9
7
となり、標準正規分布の数表を用いて
P (−16 < Y < 1.5) =
P (−1.0 < Z < 1.5)
=
1 − φ(1.0) − φ(1.5)
=
1 − (0.1587 + 0.0668)
=
1 − 0.2255
=
0.7745
よって、P (−16 < Y < 1.5) = 0.7745 が求まる。

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