問 35 W = {x ∈ R3 |2x1 + 3x2 − x3 = 1, x1 − 2x2 + 3x3 = 2} は R3 の部分空間となるか？解   x1 1 −1   x2 = 2 3 x3 2 3 1 −2 を解く。行列 A= 2 3 −1 1 −2 3 を基本変形する。行に関する基本変形 2 1 1 2 1 0 1 0 3 -2 -2 3 -2 7 -2 1 -1 3 3 -1 3 -7 3 -1 行に関する基本変形を表す行列は 1 0 1 P = × 0 17 −2 列に関する基本変形 0 0 × 1 1 1 PA = 0 P AQ = 1 − 27 0 1 0 1 0 1 0 0 −2 3 1 −1 列に関する基本変形を表す行列は    1 2 −3 1 Q = 0 1 0  × 0 0 0 1 0 基本変形は 1 0 = 1 0 7 1 0 1 0   0 0 1 2 1 1  = 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0  −1 1 1 したがってランクは 2. つまり x を動かした時, Ax は 2 次元ベクトル空間を張る。 1 2 1 はこの 2 次元ベクトル空間内にあるから, 解はある。もとの方程式を変形して     x1 x1 1 1 0 0 2 , Q−1 x2  = P AQQ−1 x2  = P 2 0 1 0 − 37 x3 x3     x1 x1 x2  = Q−1 x2  x3 x3 と置くと, 1 0 0 1   x1 0   2 x2 = 3 0 − 7 x3 したがって µ を任意の数として     x1 2 x2  = − 3  7 x3 µ       8    8  x1 x1 −1 7 −µ 7 x2  = Q x2  = − 3 + µ = µ  1  + − 3  7 7 x3 x3 0 µ 1 µ が全ての値を動いた時できる空間が W である。実際, これは 3 次元空間内の直線である。しかし, この直線は原点をとおっていない。つまり, 原点を通らない直線は線形部分空間かという問題である。もし W が線形部分空間なら x ∈ W , y ∈ W のとき x + y ∈ W , ax ∈ W でなければならない。そうなっているだろうか?   −t + 87 x =  t − 37  t に対してだが   −2t + 16 7 2x =  2t − 67  2t     −λ + 87 −2t + 16 7  2t − 6  =  λ − 3  7 7 2t λ 2 となるような λ が見付かるだろうか? もしあるとすれば −λ = −2t + λ = 2t − λ = 2t 3 7 8 7 だから 3 8 = 7 7 となり矛盾が生じる。つまりそんな λ はありえない。2x は W の中にはない。したがって W は部分空間ではない。 3