§4.6 2 次式の平方完成変数 x の 2 次式の平方完成とは， x の 2 次式を次の形に変形することです： a(x + p)2 + q （ a , p , q は定数で a 6= 0 ）. 平方完成では次のような変形が重要になります： x2 + 2 ですから， 2 2 □ x+ □ = x+ □ 2 2 2 2 2 □ □ x = x2 + 2 x + □ − □ 2 2 2 2 2 2 □ = x+ □ − . 2 4 2 1 x の係数 □ のを足して引くことがミソです．の2乗 □ 2 2 x2 + □x = x2 + 2 例解変数 x の 2 次式 2x2 + 6x + 5 を平方完成します．まず， 2x2 + 6x の部分を x2 の係数 2 で括ります： 2x2 + 6x + 5 = 2(x2 + 3x) + 5 . 次に，括弧 ( ) の中の 2 次式 x2 + 3x について上述のように変形します． x の係数 3 2 2 1 3 3 2 3 3 のを足して引きます． x2 + 2 · x + = x+ ですから，の2乗 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 − = x+ − x2 + 3x = x2 + 2 · x = x2 + 2 · x + 2 2 2 2 2 2 2 32 3 − 2 . = x+ 2 2 従って 2x2 + 6x + 5 = 2(x2 + 3x) + 5 = 2 x+ 3 2 2 − 32 22 32 3 2 +5 = 2 x+ −2· 2 +5 2 2 3 2 1 = 2 x+ + . 2 2 3 2 1 + となります．こうして x の 2 次式 2x2 + 6x + 5 を平方完成すると 2 x + 2 2 終例題変数 x の 2 次式 4x2 − 5x + 1 を平方完成する． n 2 2 o 5 5 5 5 +1 − 4x2 − 5x + 1 = 4 x2 − x + 1 = 4 x2 − 2 · x + 4 8 8 8 52 5 2 52 5 2 − 2 +1 = 4 x− −4· 2 +1 = 4 x− 8 8 8 8 2 9 5 − . = 4 x− 8 16 問題 4.6.1 例題例題変数 x の 2 次式 3x2 − 5x + 1 を平方完成しなさい．変数 x の 2 次式 −3x2 + 8x − 4 を平方完成する． n 2 2 o 4 4 8 4 −4 − −3x2 + 8x − 4 = −3 x2 − x − 4 = −3 x2 − 2 · x + 3 3 3 3 o n 42 4 2 4 2 42 − 2 − 4 = −3 x − − (−3) · 2 − 4 = −3 x − 3 3 3 3 2 4 4 = −3 x − + . 3 3 問題 4.6.2 終終変数 x の 2 次式 −5x2 − 6x − 3 を平方完成しなさい． 9 2 x − 3x + 2 を平方完成する． 5 9 2 9 2 5 9 2 5 x − · 3x + 2 = x − x +2 x − 3x + 2 = 5 5 9 5 3 2 52 5 5 2 9 52 5 9 2 9 x −2· x+ x− − 2 +2 = − · 2 +2 = 5 6 6 5 6 5 6 6 2 5 23 9 x− + . = 5 6 24 変数 x の 2 次式問題 4.6.3 終以下の変数 x の 2 次式を平方完成しなさい． (1) 8 (2) − x2 + 2x + 1 . 3 5 2 x − 4x + 3 . 2 一般的に，変数 x の 2 次式 ax2 + bx + c （ a , b , c は定数で a 6= 0 ）の平方完成は次のようになります： b ax2 + bx + c = a x2 + x + c a 2 2 b b b 2 = a x +2· x+ − +c 2a 2a 2a 2 b2 b − 2 +c = a x+ 2a 4a 2 2 b 4ac b − + = a x+ 2a 4a 4a 2 b2 − 4ac b − . = a x+ 2a 4a このように，変数 x の任意の 2 次式は平方完成して a(x + p)2 + q （ a , p , q は定数で a 6= 0 ）の形に直すことができます．この 2 次式の平方完成は重要で，以後しばしば用います．結果ではなく必ず変形する要領を憶えて下さい．