剰余の定理・因数定理数学 II・B 授業ノート http://mhidet.web.fc2.com/text/ 1 剰余の定理と因数定理整式 P (x) を 1 次式で x − k で割った商を Q(x)，余りを R とする．このとき R は定数となり， P (x) = Q(x)(x − k) + R となる．x = k のとき， P (x) = Q(k)(k − k) + R だから，次の剰余の定理が成り立つ．整式 P (x) を x − k で割ったときの余りは P (k) また，整式 P (x) が x − k で割り切れる時，P (k) = 0 であるから，次の因数定理が成り立つ．整式 P (x) が x − k を因数にもつ ⇐⇒ P (k) = 0 このことから，次のことも成り立つ． ) ( b 整式 P (x) を 1 次式 ax + b で割った余りは，P − a • 整式 P (x) = x3 + ax + 2 を x − 2 で割ったときの余りが 4 であるとき，定数 a の値を求めてみよう．剰余の定理より， P (2) = 23 + a · 2 + 2 = 4 すなわち， 2a = −6 a = −3 • 整式 P (x) を x − 2 で割ると余りが 3，x + 3 で割ると余りが −7 である．このとき P (x) を (x − 2)(x − 3) で割った余りを求めよ． P (x) を (x − 2)(x − 3) で割った余りは，定数か 1 次式であるから，求める余りを ax + b とおくことができる．この商を Q(x) とすると， P (x) = (x − 2)(x + 3)Q(x) + ax + b と表せる．条件より P (−3) = −3a + b = −7 P (2) = 2a + b = 3, これを解いて， a = 2, したがって，求める余りは 2x − 1 である． 1 b = −1 • x3 + 3x2 − 4x − 12 を因数分解してみよう． P (x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 とすれば，P (2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 0 だから，P (x) は x − 2 で割り切れる1 ．x3 + 3x2 − 4x − 12 を x − 2 で割ると， ) x2 +5x +6 x − 2 x +3x −4x−12 x3 −2x2 5x2 −4x 5x2 −10x 6x−12 6x−12 0 3 2 であるから， x3 + 3x2 − 4x − 12 = (x − 2)(x2 + 5x + 6) = (x − 2)(x + 2)(x + 3) となる． 2 組立除法整式を 1 次式で割り算するときに簡単な方法がある．例えば，整式 ax3 +bx2 +cx+d を x−k で割り算したとき，商は 2 次式で，余りは定数なので，商を lx2 +mx+n，余りを r と書ける．したがって， ax3 + bx2 + cx + d = (lx2 + mx + n)(x − k) + r = lx3 + (m − lk)x2 + (n − mk)x + (r − nk) と表される．これは恒等式だから， a = l, b = m − lk, c = n − mk, d = r − nk l = a, m = b + lk, n = c + mk, r = d + nk であり，これより，である．商のそれぞれの項の係数は次のようにして求められる． • x3 + 4x2 − 5x + 6 を x − 2 で割ったときの商と余りを組立除法を用いて求めてみよう． 1 P (k) = 0 となる k は P (x) の定数項の約数が候補になる．この例では，±12，±6，±4，±3，±2，±1 のどれか． 2 これより，商は x2 + 6x + 7，余りは 20 である． 3 演習問題 1. x3 + 2x2 − 3x + 4 を 1 次式 x − 3 で割ったときの余りを求めよ． 2. 次のことを証明せよ． ( 整式 P (x) を 1 次式 ax + b で割った余りは，P − b a ) 3. 2x3 − x2 + 5x − 6 を 1 次式 2x − 3 で割った余りを求めよ． 4. x3 + 3x2 − 2x + a が x − 1 で割り切れるとき，a の値を求めよ． 5. 次の式を因数分解せよ． (a) x3 − 7x − 6 (b) 2x3 + 7x2 − 14x + 5 6. 整式 P (x) を x − 2 で割った余りが −1，x + 3 で割った余りが 9 であるとき，整式 P (x) を (x − 2)(x + 3) で割った余りを求めよ． 7. x2014 を x2 − 1 で割った余りを求めよ． 3