線形代数学III 例題プリント 2015.06.02

線形代数学 III 例題プリント 2015.06.02
4 項間漸化式 an+3 − 4an+2 + an+1 + 6an = 0 を満たす数列のなす空間 V を考える。
V = {{an }∞
n=1 | an+3 − 4an+2 + an+1 + 6an = 0 (∀n ∈ N)}
この漸化式は an+3 = 4an+2 − an+1 − 6an と変形できるから，a1 , a2 , a3 を与えればすべての項が
一意的に定まる。
問 1. a1 , a2 , a3 を与えたとき，an (n ≥ 4) がすべて一意的に決まることを示せ。
【解答】 n を 3 以上の自然数として n 以下の k に対して ak が定まっているならば漸化式 an+1 =
4an − an−1 − an−2 により an+1 が一意にさだまる。よって数学的帰納法により一般項 an は a1 , a2 , a3
から一意に定まる。
∞
さて，a = {an }∞
n=1 , b = {bn }n=1 ∈ V , λ ∈ R に対して和およびスカラー倍を以下のように定める
ことができた。
a + b := {an + bn }∞
n=1 = {a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , · · · }
λa
:= {λan }∞
n=1 = {λa1 , λa2 , λa3 , · · · }
これより V はベクトル空間の構造を持つ。V の基底として次の三つの数列が取れる。
u
= { 1, 0, 0, −6, −24, −90, −300, −966, · · ·
}
v
= { 0, 1, 0, −1, −10, −39, −140, −461, · · ·
}
w = { 0, 0, 1,
4,
15,
50,
161,
504, · · ·
}
問 2. u, v, w は V の基底であることを示せ。
【解答】 λ1 , λ2 , λ3 ∈ R として λ1 u + λ2 v + λ3 w = 0 となったとする。このとき
λ1 u + λ2 v + λ3 w = λ1 {1, 0, 0, · · · } + λ2 {0, 1, 0, · · · } + λ3 {0, 0, 1, · · · }
= {λ1 , λ2 , λ3 , · · · } = {0, 0, 0, · · · }
より λ1 = λ2 = λ3 = 0 である。よって u, v, w は一次独立である。また，a = {a1 , a2 , a3 , · · · } ∈ V
とすると，a1 u + a2 v + a3 w = a1 {1, 0, 0, · · · } + a2 {0, 1, 0, · · · } + a3 {0, 0, 1, · · · } = {a1 , a2 , a3 , · · · } な
ので a1 u + a2 v + a3 w と a は最初の三項が一致する。これらはともに同じ 4 項間漸化式を満たして
いるので，すべての項が一致する。よって a = a1 u + a2 v + a3 w である。以上から u, v, w は V の
基底である。
以上から dim V = 3 であることが分かった。
1
問 3. 以下で定める写像 f は V 上の線形変換であることを示せ。
f :
V
−→
V
a = {a1 , a2 , a3 , · · · } 7−→ f (a) = {a2 , a3 , a4 , · · · }
【解答】まず a = {a1 , a2 , a3 , · · · } ∈ V のとき f (a) ∈ V であることを示す。f (a) の第 n 項を a′n と
すれば，a′n = an+1 となる。このとき f (a) の各項について漸化式
a′n+3 − 4a′n+2 + a′n+1 + 6a′n = an+4 − 4an+3 + an+2 + 6an+1 = 0
が成り立つので，a ∈ V ならば f (a) ∈ V である。次に f が線形写像であることを示す。a = {an }∞
n=1 ,
b = {bn }∞
n=1 ∈ V , λ ∈ R とするとき，
∞
∞
∞
f (a + b) = f ({an + bn }∞
n=1 ) = {an+1 + bn+1 }n=1 = {an+1 }n=1 + {bn+1 }n=1 = f (a) + f (b)
∞
∞
f (λa) = f ({λan }∞
n=1 ) = {λan+1 }n=1 = λ{an+1 }n=1 = λf (a)
が成り立つので，確かに f は V 上の線形変換である。
問 4. V の基底 u, v, w に関する f の表現行列 A を求めよ。
【解答】 f (u), f (v), f (w) をそれぞれ u, v, w の一次結合で表す。
f (u) = {0, 0, −6, · · · } = 0 · {1, 0, 0, · · · } + 0 · {0, 1, 0, · · · } − 6 · {0, 0, 1, · · · } = −6w,
f (v) = {1, 0, −1, . . . } = 1 · {1, 0, 0, · · · } + 0 · {0, 1, 0, · · · } − 1 · {0, 0, 1, · · · } = u − w,
f (w) = {0, 1, 4, . . . } = 0 · {1, 0, 0, · · · } + 1 · {0, 1, 0, · · · } + 4 · {0, 0, 1, · · · } = v + 4w.
これより求める表現行列 A は以下のように求まる。
[
] [
] [
=
f (u) f (v) f (w)
−6w u − w v + 4w = u v w

1
] 0

0
 0
−6 −1
{z
|
=A

0

1
4
}
問 5. 次の数列は V に属することを示せ。
x = {(−1)n−1 }∞
n=1 ,
y = {2n−1 }∞
n=1 ,
z = {3n−1 }∞
n=1
【解答】初項が 1 で，0 でない公比 r の等比数列 {rn−1 }∞
n=1 が V に属するための必要十分条件は 4
項間漸化式
rn+3 − 4rn+2 + rn+1 + 6rn = rn (r3 − 4r2 + r + 6) = rn (r + 1)(r − 2)(r − 3) = 0
が成り立つことであり，これは r = −1, 2, 3 ときのみ満たされるので，x, y, z は V に属する。
2
問 6. u, v, w から x, y, z への変換行列を計算し，x, y, z は V の基底となることを示せ。
【解答】 u, v, w から x, y, z への変換行列を求める。
x = {1, −1, 1, · · · } = 1 · {1, 0, 0, · · · } − 1 · {0, 1, 0, · · · } + 1 · {0, 0, 1, · · · } = u − v + w,
y = {1, 2, 4, · · · } = 1 · {1, 0, 0, · · · } + 2 · {0, 1, 0, · · · } + 4 · {0, 0, 1, · · · } = u + 2v + 4w,
z = {1, 3, 9, · · · } = 1 · {1, 0, 0, · · · } + 3 · {0, 1, 0, · · · } + 9 · {0, 0, 1, · · · } = u + 3v + 9w.
これより u, v, w から x, y, z への変換行列 P は次のように求まる。


1
1
1
[
] [
] [
]


x y z = u − v + w u + 2v + 4w u + 3v + 9w = u v w  −1
2 3 
(−1)2 22 32
|
{z
}
=P
ヴァンデルモンドの行列式の公式より P は正則行列である。よってテキストの命題 3.15 より変換行
列が正則なので x, y, z も V の基底となる。
問 7. a1 = 3, a2 = −1, a3 = 1 である V の元 a = {an }∞
n=1 の一般項 an を求めよ。
[
【解答】
]
[
]
[
] [
]
u v w P = x y z より u v w = x y z P −1 であるから
a = {3, −1, 1, · · · } = 3 · {1, 0, 0, · · · } + (−1) · {0, 1, 0, · · · } + {0, 0, 1, · · · }
 
 
3
[
] 3
[
]
 

−1 
= 3u − v + w = u v w −1 = x y z P −1
1
1
ここで P の逆行列を計算すると

P −1

6 −5 1
1 

=
 12 8 −4
12
−6 −3 3

  
3
2
  
−1 
=⇒ P −1 =  2 
1
−1
となるので，a は x, y, z の一次結合として次のように表せる。
 
 
3
[
] 2
[
]
 
 
a = x y z P −1 −1 = x y z  2  = 2x + 2y − z = {2 · (−1)n−1 + 2n − 3n }∞
n=1
−1
1
よって a の一般項は an = 2 · (−1)n−1 + 2n − 3n−1 である。
問 8. 基底 x, y, z に関する線形写像 f の表現行列 B を求めよ。
3
【解答】 f (x), f (y), f (z) を計算し，これを x, y, z の一次結合で表す。
f (x) = {−1, 1, −1, · · · } = (−1) · {1, −1, 1, · · · } = −x,
f (y) = {2, 4, 8, · · · } = 2 · {1, 2, 4, · · · } = 2y,
f (z) = {3, 9, 27, · · · } = 3 · {1, 3, 9, · · · } = 3z.


これより求める表現行列は以下のように求まる。
[
] [
] [
] −1 0 0


f (x) f (y) f (z) = − x 2y 3z = x y z  0 2 0 
0 0 3
{z
}
|
=B
問 9. f の二つの表現行列 A, B の間の関係を調べることで，u, v, w から x, y, z への変換
行列 P を用いて A を対角化せよ。
【解答】変換行列を書き下すと次のとおりであった。
[
] [
]
[
]
x y z = u v w P = u − v + w u + 2v + 4w u + 3v + 9w
これより
[
]
f (x) f (y) f (z)
[
f (u − v + w) f (u + 2v + 4w) f (u + 3v + 9w)


[
] 1 1 1


= f (u) f (v) f (w) −1 2 3 
1 4 9
[
]
= f (u) f (v) f (w) P
]
=
(式 1)
が成り立つ。基底 x, y, z に関する f の表現行列 B は次ので定まる。
[
] [
]
f (x) f (y) f (z) = x y z B
(式 2)
一方 (式 1) と u, v, z に関する f の表現行列 A を用いれば
[
] [
]
[
]
f (x) f (y) f (z) = f (u) f (v) f (w) P = u v w AP
(式 3)
[
とも表せる。ここで
]
x y z
[
=
]
[
] [
]
u v w P より u v w = x y z P −1 でもあるか
ら，これを (式 3) に代入して
[
] [
]
[
]
f (x) f (y) f (z) = u v w AP = x y z P −1 AP
(式 4)
が成り立つ。(式 2) と (式 4) を比較して B = P −1 AP を得る。B は対角行列だったので，これより
求める対角化

 
−1 

−1 0 0
1
1 1
0
1 0
1
1 1

 
 


2 3 = 0 2 0
2 3  0
0 1   −1
 −1
0 0 3
(−1)2 22 32
(−1)2 22 32
−6 −1 4

が得られた。
4

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