計量経済学 (2014) 練習問題 1 解答例 TA : 坂口翔政 (修士 2 回)、大畠一輝 (修士 1 回) 1 (a) 答え：E[X] = 0.45 解説：期待値の定義より E[X] = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) となる。ここで、X の周辺確率 P(X=0),P(X=1) を求めると P (X = 0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) = 0.385 + 0.165 = 0.55 P (X = 1) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1) = 0.315 + 0.135 = 0.45 となる。よって E[X] = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) = 0 · 0.55 + 1 · 0.45 = 0.45 なお、(X, Y ) の同時確率、周辺確率は次の表ようになる。 Y=0 Y=1 P(Y) X=0 X=1 0.385 0.315 0.165 0.135 0.55 0.45 P(X) 0.7 0.3 1 (b) 答え：E[XY ] = 0.135 解説：期待値の定義より E[XY ] =0 · 0 · P (X = 0, Y = 0) + 1 · 0 · P (X = 1, Y = 0) + 0 · 1 · P (X = 0, Y = 1) + 1 · 1 · P (X = 1, Y = 1) =P (X = 1, Y = 1) となるので同時確率 P (X = 1, Y = 1) の値を求めればよい。与えられた同時確率分布より、P (X = 1, Y = 1) = 0.135 とわかるので、E[XY ] = 0.135 となる。 1 (c) 答え：E[Y | X = 1] = 0.3 解説：条件付き期待値の定義より E[Y | X = 1] =0 · P (Y = 0 | X = 1) + 1 · P (Y = 1 | X = 1) =P (Y = 1 | X = 1) となるので、条件付き確率 P (Y = 1 | X = 1) の値を求めればよい。条件付き確率の定義より P (Y = 1 | X = 1) = P (Y = 1, X = 1) 0.135 = = 0.3 P (X = 1) 0.45 よって、E[Y | X = 1] = 0.3 となる。 (d) 確率変数の独立性の定義より、確率変数 X と Y が独立であるとことを示すには、(X, Y ) のとりうるすべての値 ((0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)) に対して P (X, Y ) = P (X)P (Y ) となることを示せばよい。逆に、X と Y が独立ではないことを示すには、P (X, Y ) ̸= P (X)P (Y ) となる (X, Y ) を反例としてあげればよい。ここでは、(X, Y ) のとりうるすべての値 ((0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)) に対して、P (X, Y ) = P (X)P (Y ) が成り立つか否かを確認してみる。 (X, Y ) = (0, 0) の場合: P (X = 0, Y = 0) = 0.385 , P (X = 0) · P (Y = 0) = 0.55 · 0.7 = 0.385 より P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0) · P (Y = 0) が成り立つ。 (X, Y ) = (1, 0) の場合: P (X = 1, Y = 0) = 0.315 , P (X = 1) · P (Y = 0) = 0.45 · 0.7 = 0.315 より P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1) · P (Y = 0) が成り立つ。 (X, Y ) = (0, 1) の場合: P (X = 0, Y = 1) = 0.165 , P (X = 0) · P (Y = 1) = 0.55 · 0.3 = 0.165 より P (X = 0, Y = 1) = P (X = 0) · P (Y = 1) が成り立つ。 (X, Y ) = (1, 1) の場合: P (X = 1, Y = 1) = 0.135 , P (X = 1) · P (Y = 1) = 0.45 · 0.3 = 0.135 より P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) · P (Y = 1) が成り立つ。以上より、(X,Y) のとりうるすべての値に対して P (X, Y ) = P (X)P (Y ) となるので、確率変数 X と Y は独立であることがわかる。 2 2 (証明) 期待値の定義と総和の性質より E[aX + bY ] = k ∑ l ∑ (期待値の定義) (axi + byj )fX,Y (xi , yj ) i=1 j=1 = k ∑ l ∑ axi fX,Y (xi , yj ) + i=1 j=1 =a k ∑ l ∑ k ∑ l ∑ xi fX,Y (xi , yj ) + b i=1 j=1 となる。ここで、 ∑k i=1 ∑l j=1 byj fX,Y (xi , yj ) (総和の性質) i=1 j=1 l ∑ k ∑ yj fX,Y (xi , yj ) (総和の性質) j=1 i=1 xi fX,Y (xi , yj ) に対して k ∑ l ∑ xi fX,Y (xi , yj ) = i=1 j=1 k ∑ xi i=1 = k ∑ l ∑ fX,Y (xi , yj ) j=1 xi fX (xi ) i=1 =E[X] となる。同様に、 ∑l j=1 ∑k i=1 yj fX,Y (xi , yj ) = E[Y ] となることも示される。以上より、 E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ] となる。 (証明終わり) 3 (証明) 繰り返し期待値の法則と Conditioning Theorem より E[XY ] =E{E[XY | X]} (繰り返し期待値の法則) =E{X · E[Y | X]} (ConditioningT heorem) =E{X · 0} =0 となる。 (証明終わり) 3