ising model R行列

ising model R 行列
0
ψ
σ
σ
0
ising model の R 行列を求めていく R 行列を Rσσ
= a, Rσσ
= b, Rσψ
= Rψσ
= c, Rψψ
=d
とする。六角形規則を使って、連立方程式を立てていく。
ψ
σ
.
σ
ψ
ψ
σ.
σ
σ
Rψσ
ψ
ψ
σ.
σ
ψ
σ
(Fψσψ
)σσ
ψ
σ
ψ
σ
ψ
σ.
ψ
σ
(Fσψψ
)0σ
σ
σ
Rψσ
σ
ψ
0
σ
σ
.
σ.
0 R0
ψψ
σ
(Fσψψ
)0σ
σ
ψ
σ
これより
0
σ
σ
σ
σ
σ
Rψψ
(Fσψψ
)0σ Rψσ
= (Fσψψ
)0σ Rψσ
(Fψσψ
)σσ
という式が得られる
F 行列は入出力に 0 がふくまれるとフュージョンの仕方が定まるので 1 となる
σ
σ
σ
前回のレポートより (Fσψψ
)0σ = 1, (Fσψψ
)0σ = 1, (Fψσψ
)σσ = −1
d · 1 · c = 1 · c · −1 = −c
d = −1
(1)
次に以下の六角形より式を立てていく
ψ
σ
.
σ
σ
σ
Rψσ
ψ
σ.
σ
σ
ψ
σ.
σ
0
(Fσψσ
)σσ
0
0
ψ
σ.
σ
σ.
ψ
σ
σ
σ
Rψσ
0
σ
.
σ
0
σ
ψ
0
(Fσσψ
)σψ
0
(Fψσσ
)ψσ
ψ
0
Rψψ
ψ
0
0
これより
0
0
0
σ
0
σ
)ψσ
(Fψσσ
)σψ Rψψ
= (Fσσψ
)σσ Rψσ
(Fσψσ
Rψσ
という式が得られる
c·1·c=1·d·1
c = d = −1
2
c = ±i
∵ (1)
(2)
次に以下の六角形より式を立てていく
σ.
σ
0
σ
σ.
0
Rσσ
σ
0
σ
σ
σ.
σ
σ
σ.
σ
σ
σ
0 R0
σσ
σ
(Fσσσ
)00
σ
σ.
σ
σ.
σ
0
σ
σ
σ
σ
(Fσσσ
)00
σ
(Fσσσ
)00
0 Rσ
σ0
0
σ
σ.
σ
σ
σ
σ.
σ
σ
σ
(Fσσσ
)0ψ
σ
(Fσσσ
)ψ0
0 Rσ
σψ
0
σ
σ
これより
0
σ
0
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Rσσ
(Fσσσ
)00 Rσσ
= (Fσσσ
)00 Rσ0
(Fσσσ
)00 + (Fσσσ
)0ψ Rσψ
(Fσσσ
)ψ0
という式が得られる
σ
前回のレポートより (Fσσσ
)00 =
√1 , (F σ )0
σσσ ψ
2
σ
= (Fσσσ
)ψ0 =
√1
2
1
1
1
1
1
1 1
a· √ ·a= √ ·1· √ + √ ·c· √ = + c
2 2
2
2
2
2
2
(2) 式の c = ±i より
1
a2 = √ (1 ± i)
2
2
(3)
次に以下の六角形より式を立てていく
σ.
σ
0
ψ
0
Rσσ
σ.
ψ
σ
0
ψ
σ.
σ
ψ
(Fσσψ
)σ0
ψ
σ.
σ.
ψ
σ
ψ
σ.
ψ
Rσσ
σ
σ
ψ
σ
ψ
(Fσψσ
)σσ
σ
ψ
ψ
σ
Rσψ
ψ
σ
ψ
(Fσσψ
)σ0
ψ
σ
ψ
これより
ψ
ψ
σ
σ
0
ψ
Rσψ
(Fσσψ
)σ0 Rσσ
= (Fσψσ
)σσ Rσσ
(Fσσψ
)σ0
という式が得られる
ψ
ψ
σ
前回のレポートより (Fσσψ
)σ0 = 1, (Fσψσ
)σσ = −1, (Fσσψ
)σ0 = 1
c · 1 · a = −1 · b · 1 = −b
(2) 式の c = ±i,(3) 式の a = e±iπ/8 より
b = ±ie±iπ/8 = e∓i3π/8
つまり ising model の R 行列は
0
ψ
σ
σ
0
Rσσ
= e±iπ/8 , Rσσ
= e∓i3π/8 , Rσψ
= Rψσ
= i, Rψψ
= −1
となる
3
(4)

Download Report