2015 年度数学 A no. 6（担当：日野）コース名学籍番号氏名まず線形代数の復習を少々行っておく． ▷ V = { 実数直線上の実数値連続関数全体 } とすると，V には自然な演算（加法およびスカラー倍）が定まり，V は実ベクトル空間となる． • 例えば f (x) = 2x2 + 1, g(x) = x − 2 で定まる f, g は V の元で，2f − g は (2f − g)(x) = 2f (x) − g(x) = 4x2 − x + 4 により定まる． ▷ V の有限個の元 f1 , f2 , . . . , fn の組が一次従属であるとは，ある実数 c1 , c2 , . . . , cn が存在して， c1 , c2 , . . . , cn の少なくとも 1 つは 0 でなく，c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn = 0 が成り立つことをいう． • 例えば f1 (x) = x + 2, f2 (x) = x2 − 1, f3 (x) = 2x2 + x について，f1 + 2f2 − f3 = 0 であるから f1 , f2 , f3 は一次従属である． ▷ V の有限個の元 f1 , f2 , . . . , fn の組が一次独立であるとは，一次従属でないことをいう． • 言い換えると，c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn = 0 ならば c1 , c2 , . . . , cn の全てが 0 であるということである． ▷ 自明な注意として，「f = 0」とは，f が関数として定数関数 0 に等しい，すなわち全ての実数 x に対して f (x) = 0 であるという意味である． [6-1] 以上をふまえ，以下のそれぞれについて，V の元の組が一次独立であることを示せ． (1) α, β を相異なる実数定数とするとき，f1 (x) = eαx , f2 (x) = eβx で与えられる f1 , f2 . (2) α を実数定数とするとき，g1 (x) = eαx , g2 (x) = xeαx で与えられる g1 , g2 . (3) α, β を実数定数で β ̸= 0 とするとき，h1 (x) = eαx cos βx, h2 (x) = eαx sin βx で与えられる h1 , h2 . （解答欄） [6-1] (1) 実数 c1 , c2 に対して c1 f1 + c2 f2 = 0 が成り立つとき，c1 f1 (0) + c2 f2 (0) = 0, c1 f1 (1) + c2 f2 (1) = 0 より c1 + c2 = 0, eα c1 + eβ c2 = 0 を得る．これより c1 = c2 = 0 が従う．よって f1 , f2 は一次独立． (2) 実数 c1 , c2 に対して c1 g1 + c2 g2 = 0 が成り立つとき，c1 g1 (0) + c2 g2 (0) = 0, c1 g1 (1) + c2 g2 (1) = 0 より c1 = 0, eα c1 + eα c2 = 0 を得る．これより c1 = c2 = 0 が従う．よって g1 , g2 は一次独立． (3) 実数 (c1 , c2) に対して ( c1 h)1 + c2 h2 = 0 が成り立つとき，c1 h1 (0) + c2 h2 (0) = 0, π π c1 h1 + c2 h2 = 0 より c1 = 0, eαπ/2β c2 = 0 を得る．これより c1 = 2β 2β c2 = 0 が従う．よって h1 , h2 は一次独立．いろいろな方法が考えられる．例えば (3) は c1 h1 (0)+c2 h2 (0) = 0 と c1 h′1 (0)+c2 h′2 (0) = 0 から c1 = c2 = 0 を導くこともできる．