• 特別な和の値（導出は難しい） ∑ 1 n = π 6 , ∑ (−1)n+1 1 n = π 12

• 特別な和の値（導出は難しい）
∞
1
π2
,
=
n2
6
n=1
∞
1
π2
(−1)n+1 2 = ,
n
12
n=1
∞
n=1
1
π2
=
(2n − 1)2
8
• 至る所不連続だがリーマン積分可能な関数：記号 (x) を「x に最も近い整数」
とする。例えば (1/3) = 0, (7/4) = 2 など。ただし最も近い整数が 2 つある
とき（(1/2) や (7/2) など）には (x) = 0 と定めることにする。こうして
(nx)
(x) (2x) (3x)
+ 2 + 2 +··· =
1
2
3
n2
n=1
∞
f (x) =
と定める。
– 右辺の級数はすべての x で収束する。（|(nx)| < 1 に注意）だから、こ
の関数はすべての x に対して問題なく定義されている。
p
– しかし、n と p を互いに素な整数で p を奇数とするとき、x = 2n
とおく
p
p
と、(nx) = ( 2 ) = 0 となる。しかし x = 2n にいくらでも近くの数で、
どのような整数 n でも (nx) = 0 とならないものがあるから、f の定義
によってその点で f は不連続である：
1
(1 +
2n2
1
f (x − 0) = f (x) + 2 (1 +
2n
1
1
+ 2 + · · · ) = f (x) −
2
3
5
1
1
+ 2 + · · · ) = f (x) +
2
3
5
f (x + 0) = f (x) −
π2
16n2
π2
16n2
(1)
(2)
– しかもそのような分数で表示される点 x はどのような微小区間にも無数
にかつ稠密に存在する。従ってこの関数はすべての点で不連続である：
12
12
"riemann.dat"
"riemann.dat"
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
– 【リーマン積分可能性に対するリーマンの定理】ある関数 f (x) がリー
マン積分可能である必要十分条件は、関数 f は有界であり、しかも任意
の σ > 0 に対して、変動が σ よりも大きくなる区間の長さの和をいくら
でも小さくできることである。
1
• リーマン積分不可能な至る所不連続な関数：f (x) を x が有理数のときに 1 で
無理数のときに 0 を取るような関数とすると、どのような区間でも変動は 1
であるから、リーマンの定理によって積分不能である。（またはダルブーの
不足和は常に 0 で過剰和は常に 1 を採用して計算されるから、これらが一致
することはない）
• 【ダルブーの定理】有界閉区間上で連続な関数はリーマン積分可能である。
• 有界閉区間 [a, b] と c ∈ (a, b) に対して、f (x) が [a, b] 上で積分可能であるこ
とと、[a, c] および [c, b] の両方で積分可能であることは同値であり、
c
b
b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
が成り立つ。
• 関数 f が [a, b], [b, c], [a, c] 上で積分可能であるとき、
c
c
b
f (x) dx +
f (x) dx =
f (x) dx
a
b
a
が成り立つ。ただし a > b のときには
b
f (x) dx = −
a
a
b
f (x) dx
と定義する。
• 【積分の性質】
– 積分は線型汎関数である：α, β ∈ R とするとき、f と g が [a, b] 上積分
可能であれば αf (x) + βg(x) も積分可能であって、
b
b
b
αf (x) + βg(x) dx = α
f (x) dx + β
g(x) dx
a
a
a
b
が成り立つ。これを L(f ) := a f (x) dx と書くと L(αf + βg) = αL(f ) +
βL(g) と書け、L は実数値の線型写像（線型汎関数という）ということ
がわかる。
– f (x) が [a, b] で積分可能であれば、|f (x)| も [a, b] で積分可能であって、
b
b
≤
f
(x)
dx
|f (x)| dx
a
a
が成り立つ。【注意】広義積分のときには |f (x)| が積分可能かどうかは
一般には不明になる。
2
– f (x) と g(x) が [a, b] 上積分可能で、f (x) ≤ g(x) であれば
a
b
f (x) dx ≤
b
g(x) dx
a
が成り立つ。
• 【平均値の定理】f (x) が [a, b] 上で連続とする。すると、
b
a
f (x) dx = f (c)(b − a)
を満たすような (a, b) 上の点 c が存在する。f が積分可能であっても連続と
は限らない場合には、積分が m(b − a) となる値 m はあるが、m = f (c) とな
る点 c があるかどうかは分からない。
• 【微積分の基本定理】f が連続関数のとき、積分は微分の逆である。つまり
x
d
f (t) dt = f (x)
dx a
が成り立つ。特に、f (x) が連続のとき、F (x) を f の（何でもいい）原始関
数、つまり F (x) = f (x) が成立するような任意の F に対して
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a)
が成り立つ。
• 【狭義積分と広義積分】有界閉区間 [a, b] 上で有界な関数 f に対する積分
b
f (x) dx を狭義積分という。もし区間が有界でなかったり、関数が有界で
a
ない場合には、まだ積分を定義できていない。その場合には問題なく定義で
きる有界閉区間上の有界関数の積分を考えてから、極限を取って定義する。
それを広義積分という。単純に定義を拡張できないのは、次のような危険性
があるからである。
• 【数列の和の条件収束と絶対収束】数列 an に対して、絶対値を取ったものの
∞
∞
∞
和
|an | が収束するとき、
an は絶対収束するという。（
|an | < ∞ な
ら
n=1
∞
n=1
n=1
∞
an < ∞ である。）もし
n=1
an < ∞ だが
∞
n=1
n=1
|an | = ∞ であれば、
∞
n=1
an
は条件収束しているという。
• 条件収束している数列は、その和の順番を入れ替えると、任意の値に収束す
るようにできる。
3
– まず、条件収束しているから an には正のものも負のものも混在している
（すべてが同符号なら発散するか、絶対収束するかのどちらかである）。
−
– そこで、a+
（a+
n と an を正部分、負部分と定義する。
n := max(0, an ),
−
+
−
−
an := − max(0, −an )）。すると an = an − an , |an | = a+
n + an が成り
立つ。
∞
∞
– 条件収束しているから、 a+
a−
（【演習問題】
n = ∞,
n = ∞ である。
n=1
少し考えてみよ。両方有限なら
みが有限であれば
∞
n=1
∞
n=1
n=1
|an | < ∞ となってしまう。一方の
an が収束しない。）
– そこで、収束させたい和の値を α とする。α を超えるまで a+
n のみを加
+
え、その後 α を下回るまで a−
n を引く。さらに α を超えるまで an を加
え、その後 α を下回るまで a−
n を引く。これを繰り返す。これを繰り返
∞
∞
a+
a−
（絶対収束
すことができるのは、
n =
n = ∞ だからである。
n=1
n=1
しているときにはこれら両者が有限だから、この操作は途中でやめざる
を得ず、今の議論は成り立たない）
– ところが、この毎回の操作では α を超えたり下回ったりする総量は、当
然 an よりも小さい（足したり引いたりしているのが an なのだから）。
∞
ところが
an < ∞ だから、 lim an = 0 である。そうでなければ和は
n→∞
n=1
発散するから。
– 従ってこのようにした和は α に収束する。
– 従って、条件収束するような場合には、
「和」という概念はそれほど強
い意味を持っていない。
• 【絶対収束の条件】もし数列 an が
|an | ≤ c
を満たしていれば
∞
n=1
1
n1+α
,
α>0
an は絶対収束する。これはすべての n で成り立たな
くても、あるところ（どこでもいい）より大きな n で成り立っていれば成り
立つ。
• 【交代級数】数列 an は an > 0 でしかも単調減少、かつ lim an = 0 であると
n→∞
∞
n
(−1) an は（一般に条件）収束する。
する。すると
n=1
4

Download Report