第12回演習課題解答例(7/16実施分)

基幹物理学 IA 演習第 12 回（2015 年 7 月 16 日分）
慣性モーメントの計算
１．右図のように平面板状の薄い剛体の面内に、直交する２軸 x,y をとり、それに垂直に z 軸を
とれば、各軸の慣性モーメント Ix, Iy, Iz の間には、次の関係が成り立つことを証明せよ。
Iz  Ix  Iy
ヒント:
I z   mi ri 2
ここで ri は z 軸からの距離である。
i
証明)
I z   mi ri 2   mi ( xi2  yi2 )   mi xi2   mi yi2   I y  I x
i
i
i
i
２．重心 G を通る軸に関する慣性モーメント IG と、この軸に平行で h だ
け離れた軸に対する慣性モーメント I との間には、 I  I G  Mh の関
係があること（平行軸の定理）を以下の問に従って証明せよ。ここで
Ｍは剛体の質量である。（右図参照）



（１）位置ベクトル ri を ri ' と h で表せ。
  
ri  ri 'h
（２）慣性モーメント I の定義式に基づいて、 I  I G  Mh の
関係があることを証明せよ。
ヒント： G は重心なので、

 m r '  0 の関係を利用。
i
 
I z   mi ri 2   mi (h  ri ' ) 2
i
i
i
i
 

  mi ri ' 2   mi h 2  2  mi ri '   h
i
i
 i

2
 I G  Mh
３．次の各物体の重心を通る回転軸の周りの慣性モーメントを求めよ。質量を M とする。
ヒント： (2)～(4)では、まず Iz を求める。Ix, Iy に対しては対称性を考慮の上、問１の結果が
使える。また(1)(3)(4)の Iz 計算は坂口先生講義ノート等を参照のこと。(5)は基幹物理学のテ
キスト（13.3 節）も参照のこと。
（１）細い一様な棒（長さ  ）
[図 1 参照]
棒の線密度（単位長さ当たりの密度）をとすると、線素片 dx の質量は dx だから、
慣性モーメントの定義式 I z 
mi ri 2 の mi にdx を代入し、和の代わりに積分を用いる

i
/2
 x3 
3
と、
I z   x dx    

 / 2
12
 3   / 2
M 2
M
ここで、  
を代入することで、 I z 

12
/2
2
図１
（２）薄い長方形の板（２辺の長さ a,b） [図 2 参照、x,y,z 軸それぞれに対する I]
図２のように、板を y 軸に平行で長さ b、幅 dx の細い棒（ハッチ領域）に分けて、
(1)の結果を適用する。この際 M に、この細い棒の質量
M
bdx を代入して、x 方向の
ab
1 2M
b
bdx
12 ab
1 2 M a/2
1
これを積分して、 I x 
b
b  dx  Mb 2
12 ab  a / 2
12
1
2
同様に、 I y 
Ma
12
慣性モーメント dIx は、 dI x 
z 軸の周りの慣性モーメントは問１の結果を使って、
Iz  Ix  Iy 
図２
1
M (a 2  b 2 )
12
（３）細い円環（リング）
（半径 a） [図 3 参照, x,y,z 軸それぞれに対する I]
円環の中心を通り円環に垂直な z 軸の周りの慣性モーメント Iz は、
円環の微小な長さ d  ad の慣性モーメントの和として導
出できる。この微小部分の質量は線密度を（
ると、 ad であるので、
2
I z   a 2 ad  Ma 2
0
1
2

2
0
M
）とす
2a
d  Ma 2 
次に、問１の結果と対称性から Ix  Iy であるので、
Ix  Iy  Iz / 2 
1
Ma 2 , I z  Ma 2
2
図３
（４）薄い円板（半径 a） [図 4 参照、x,y,z 軸それぞれに対する I]
円板の中心を通り円環に垂直な z 軸の周りの慣性モーメント Iz は、
円板を半径 r、幅 dr の微小円環の集まりと見なすことができる。
微小円環の慣性モーメントは、(3)の結果に円板の面密度
dI z  r 2
M
を用いて、
a 2
M
2rdr
a 2
これを積分して、
a
I z   dI z  2
0
M
a2

a
0
r 3 dr 
1
Ma 2
2
問１の結果と対称性より、 I x  I y  I z / 2 
Iz 
1
Ma 2
4
1
Ma 2
2
図４
（５） [発展問題] 円柱（半径 a、高さ h） [図 5 参照、x,y,z 軸それぞれに対する I]
ｚ軸の周りの慣性モーメントは Iz は、薄い円板の慣性モーメント dIz の和として求まる。
この薄い円板の質量は、
dI z 
M
M
a 2 dz  dz であるので、
2
h
a h
1 2M
a
dz
2
h
これを積分して、
h
I z   dI z 
0
1 2M
a
2
h

h
0
dz 
1
Ma 2
2
厚みがあるために、x 方向、y 方向には、問１の結果を当てはめることができない。
そこで、問２の平行軸の定理と（４）の Ix と Iy の解を用いる。
重心 G は原点であるので、x 軸から z だけ離れた図のハッチ部（z の位置で厚さ dz）
M  2
dz  z の和にな
 h 
の慣性モーメント dIx は、重心を通る x 軸周りの慣性モーメントと 
る。
dI x 
1 2M
M
a
dz  z 2
dz
4
h
h
これを積分して、
h/2
1 2M
M
a
dz   z 2
dz
h / 2 4

h
/
2
h
h
1
1
 Ma 2  Mh 2
4
12
1
1
同様に対称性から、 I y  I x  Ma 2 
Mh 2
4
12
Ix  
h/2
図５

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