システム制御理論 I 演習問題2 解答

システム制御理論 I 演習問題２解答 1
1. n = 2 であるので，可制御性行列は Mc = B
である．
可観測性行列より，Mo =
C
1 2
AB =
1 3
1 1
．rank MC = 2 であるから，システム (1) は可制御
．rank MO = 2 であるから，システム (1) は可観測である．
=
CA
3 2
2. 元のシステムの特性多項式は，ϕ(s) = det (sI − A) = s2 − s − 2 可制御正準形への座標変換行列は，
T
−1
1 3 −1
= MC W =
1 1
1
1
2
=
0
0
可制御正準形におけるゲイン K̃ = k̃0
1
1
...
1 1 −1
T =
2 0 2
k̃1 であらわされた状態フィードバック系の特性多項式は
ϕf b (s) = s2 + (a1 + k̃1 )s + (a0 + k̃0 ) = s2 + (−1 + k̃1 )s + (−2 + k̃0 ) である．ここで，配置したい固有値に対する特
性多項式は (s + 1)(s + 2) = s2 + 3s + 2 であるので，係数を比較し，K̃ = 4 4 と求められる．よって，
1
1
K = K̃T =
4 4
2
0
−1
2
= 2 2
可観測正準形への座標変換行列は，
T = W MO =
−1 1
1
0
1 2
3 2
=
2 0
1 2
1 2
.
−1
.. T =
4 −1
0
2
誤差系の特性多項式は ϕ̂(s) = s2 + (a1 + l̃1 )s + (a0 + ˜
l0 ) = s2 + (−1 + l̃1 )s + (−2 + ˜l0 ) であり，配置したい固有値
12
2
に対する特性多項式は (s + 3 + j)(s + 3 − j) = s + 6s + 10 であるので，係数を比較し，L̃ =
と求められる．
7
よって，
L=T
−1
6
1 2 0 12
L̃ =
= 5
4 −1 2
7
2
2
1. ケーリー・ハミルトンの定理より
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
C
CA
CA
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
CA2
⎢ CA ⎥
⎢ CA2 ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
MO A = ⎢ . ⎥ A = ⎢ . ⎥ = ⎢
.
⎥
..
⎣ .. ⎦
⎣ .. ⎦ ⎣
⎦
n−1
n
n−1
CA
CA
C(−a0 I − a1 A − · · · − an−1 A
)
1
⎡
0
..
.
1
0
0
−a0
−a1
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎣
⎤⎡
0
..
.
1
···
−an−1
⎤
C
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢ CA ⎥
⎥⎢ . ⎥
⎥⎢ . ⎥
⎦⎣ . ⎦
CAn−1
MO
Â
−1
と計算される．よって，MO AMO
= Â となる．また，
⎡
⎤
C
CA
..
.
⎢
⎢
C = ĈMO = Ĉ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎥ ⎥
⎥= 1
⎥
⎦
C
CA
..
.
⎢
⎢
0 ⎢
⎢
⎣
0 ···
CAn−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
CAn−1
−1
となる．よって，CMO
= Ĉ が得られる．
2. (C̃, Ã) が可観測正準形であると仮定し，(Ĉ, Â) との間に (C̃, Ã) = (ĈW −1 , W ÂW −1 ) なる座標変換の関係がある
ことを示せばよい．
⎡
a2
a1
⎢
⎢ a2
⎢
⎢ .
.
.
..
W Â = ⎢
⎢ .
⎢
⎢a
..
⎣ n−1 .
···
an−1
.
..
an−1
1
1
となる．一方
⎡
⎤⎡
···
0
−a1
..
.
..
.
1 −an−1
0
..
.
0
..
.
−a0
0
..
.
..
.
0
1
−a0
−a1
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
0
0 ···
⎢
⎢ 1
⎢
⎢
ÃW = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
⎤⎡
a1
⎥⎢
⎥ ⎢ a2
⎥⎢
⎥⎢ .
⎥ ⎢ ..
⎥⎢
⎥⎢
⎥ ⎢a
⎦ ⎣ n−1
1
0
..
.
..
.
0
a2
..
.
..
.
1
···
···
···
an−1
an−1
.
..
1
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
an−1
1
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
と計算される．これらより ÃW = W Â が成り立つ．また，
⎤
⎡
a1
a2
···
an−1 1
⎥
⎢
⎥
⎢ a2
an−1
1
⎥ ⎢
⎢ .
⎥
.
.
.
.
.
⎥= 1
⎢
.
.
C̃W = 0 · · · 0 1 ⎢ .
⎥
⎥
⎢
.
⎥
⎢a
.
⎦
⎣ n−1 .
1
0
⎤
0 ···
−a0
0
···
···
0
..
.
..
.
0
a2
..
.
···
.
..
.
..
an−1
.
..
.
..
an−1
1
−a0
0
···
···
0
..
.
..
.
0
a2
..
.
···
.
..
.
..
an−1
.
..
.
..
an−1
1
0
0
⎤
⎥
1 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
0
⎤
⎥
1 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
0
0 = Ĉ
となる．すなわち，Ĉ = C̃W が成り立つ．
以上より，(C̃, Ã) = (Ĉ, W −1 W ÂW −1 ) が成り立ち，行列 W による座標変換により可観測正準形に変換されるこ
とが示された．
2

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