統計学I レポート課題6

統計学 I レポート課題６
学籍番号：
氏名：
提出期限は、６月１日。
問題 (I) 確率変数 X が平均 µ のポアソン分布に従うときその期待値と分散を求めよ。
さらに E[X 3 ] も求めよ。（途中計算を書くこと）
(II) スターバックス（コーヒーチェーン店）では、レシートにランダムにアンケート
が付加される。そのアンケートに答えるとドリンク（カスタマイズ可）が一杯無料に
なる。アンケート付きレシートがもらえる確率は 1/50 だと言われている。青年（自
称）M は、毎年 300 回スターバックスを利用することが分かっている。このとき
(a) アンケート付きレシートを 5 枚以上もらえる確率を求めよ。
(b) ある年 M はサッカーで負傷し、その治療のためスターバックスを 300 回利用でき
ないことが確実と分かった。執念深い M はそれでもアンケート付きレシートが一枚
以上当たる確率が 0.99 を上回るまで利用したいと考えた。M は何回以上スターバッ
クスを利用すればよいか？
解答 (I) 期待値と分散の計算は補充プリント８を参照せよ。確率変数 Y が期待値 µ
のポアソン分に従うとすると
∞
∞
∑
∑
µk −µ
µk−1 −µ
µk
k2
(k + 1)2 e−µ
e =µ
e =µ
k!
(k − 1)!
k!
k=0
k=1
k=0
(∞
)
∞
∑ µk
∑
µk
k 2 e−µ + 2
=µ
k e−µ + 1
k!
k!
k=0
k=0
E[X 3 ] =
∞
∑
k3
= µ(E[X 2 ] + 2E[X] + 1) = µ3 + 3µ2 + µ
となる。
(II) 数が大きいので２項分布でなくポアソン分布を用いる。
(a) １年にアンケート付きレシートが当たる回数を X とする。X はパラメーター µ =
300/50 = 6 のポアソン分布に従うと考えられる。すると教科書 p.306-307 のポアソン
分布表を用いて
P (X ≥ 5) = 1 −
=1−
4
∑
i=0
4
∑
i=0
P (X = i)
e
i
−6 6
i!
= 1 − (0.002 + 0.015 + 0.045 + 0.089)
= 1 − 0.151 = 0.849
1
となる。
(b) １年に n 回スタバに行くとすると、アンケート付きレシートは平均して n/50 当た
るから、当たる回数を X とすると、X はパラメーター µ = n/50 のポアソン分布に従
う。このとき１枚以上当たる確率は 1 − e−n/50 だから、
1 − e−n/50 ≥ 0.99
⇔
0.01 ≥ e−n/50
⇔
loge (0.01) ≥ −n/50
となればよい。log(0.01) = −4.605... だから n ≥ 230.25... となり、231 回以上が答え
となる。
2

Download Report