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3章確率変数
ソフトウェア工学講座
M2 瀧進也
統計学輪講資料
1
確率変数
• 標本空間の中の根源事象に対して，適当な
数値を対応させた変数
– 上記のような変数Xが，ある特定の数値xを取る
確率が決まっているとき，Xを確率変数という．
– ex)6面ダイスの場合
• Xは1/6の確率で，1～6のいずれかの整数値を取る．
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2
確率密度
• 確率変数Xが離散的でn個の値を取る場合の
確率密度は以下の通り．
– ただし，0  i  n とする．
 pi ( x  xiのとき )
f ( x)  
 0(その他の x)
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3
分布関数
• 確率変数Xのとる値がx以下である確率
F ( x)  P( X  x)
• 分布関数の特徴
– (i) F ( x)   f ( xi )
x x
– (ii)F(x)はxについて減少することのない階段状の
関数であり， F ()  1，F ()  0
– (iii) P(α X β)  F (β)  F (α)   f ( xi )
i
α xi β
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4
連続値への拡張
• 以下の式のf(y)が確率密度
P( x  X  x  x)  
x  x
x
f ( y)dy
• 以下の式のF(x)が分布関数
x
F ( x)   f ( y)dy

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5
確率分布
• 確率密度や分布関数は，確率変数がどんな
値をとるかという確率的な情報を全て含む．
– これらの関数がわかっているとき，その確率変数
は「与えられた確率分布に従っている」という．
• 分布に関する理解を簡略化するため，以下
の数量を定義する．
– 期待値
– 分散
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6
期待値（平均）
• 確率変数Xの期待値（平均）は次式の通り．

  xi f ( xi )(離散的なとき )
   i 1

 xf ( x)dx(連続的なとき )

n
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7
ガンマ関数
• 計算を簡略化するために導入する．

( x)   y e dy
x 1  y
0
• 階乗を非整数に拡張したもの．
(n  1)  n!
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8
期待値計算の例
• 例2の場合
– 普通は頑張って部分積分する．



0
   xf ( x)dx   x e dx
 ごにょごにょ 
ガンマ関数導入
2 x
ガンマ関数の特別な場合(x=3)

31  y
(3)   y e dy
0
  (3)  2! 2
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9
ベータ関数
• 確率・統計でよく出てくるらしい・・・．
( x)( y ) 1 x 1
y 1
B ( x, y ) 
  z (1  x) dz
0
( x  y )
• ベータ関数の逆数は，組み合わせを非整数
に拡張したもの．
1
 nn  m1Cm1
B(n, m)
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分散
• 確率変数Xが大体どの程度の範囲にあるの
かを示すのに使われる量
–  を標準偏差という．

2
( xi   ) f ( xi )


2
   i 1

 ( x   ) 2 f ( x)dx

n
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チェビシェフの不等式
• 分散が分布のばらつきの程度を示すことを，
数学的にのべたもの
– 確率変数が平均値から標準偏差のa倍以上離れ
ている確率は，全体の1/ a 2より小さい．
1



P
X



a

2
a
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モーメント
• 以下を ( X ) の期待値とする．
n

   ( xi ) f ( xi )
E[ ( X )]   i 1

  ( x) f ( x)dx

k

(
X
)

X
(k  0,1,2,) としたとき，以下をk次の
•
モーメントという．
 n
( xi ) f ( xi )


E[ X k ]   i 1

 x k f ( x)dx

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モーメントの例
• 平均は1次のモーメント
  E[ X ]
• 分散は平均のまわりの2次のモーメント
  E[( X   ) ]
2
2
• 平均のまわりの3次のモーメントは歪度
– 分布の非対称性を表す．
  E[( X   ) ]
3
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モーメント母関数
•  ( X ) として e tX を選んだときの期待値 E[etX ] を
モーメント母関数という．
– モーメント母関数から，全てのモーメントを系統的
に計算することができる．
1
1
2
3
E[e ]  E[1  tX  (tX )  (tX )  ]
2!
3!

k
1
k k
t
の係数がk次のモーメントの
  E[ X ]t
1/k!倍になっている．
k  0 k!
tX
tについてのマクローリン展開
e
tX
1
1
2
 1  tx  (tx)  (tx) 3  
2!
3!
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変数変換
• 確率密度f(X)のXに対して，Y=Φ(X)を導入し
たときの確率密度g(Y)を求める．
dx
g ( y )  f ( x)
dy
• 例4


dx
 y   yg ( y )dy   (ax  b) f ( x) dy


dy






  (ax  b) f ( x)dx  a  xf ( x)dx  b  f ( x)dx
 a x  b
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