解析力学 B（平成 25 年度後期）定期試験略解神戸大学陰山聡 2014.01.23 問題 1 （採点対象外）問題 2 [1] L(q, q) ˙ = {√ }2 ℓ20 + q 2 − ℓ0 m k q˙ − 2 2 だから √ W = ℓ20 + q 2 − ℓ0 [2] |q| ≪ ℓ0 のとき (√ ) √ { } ℓ20 + q 2 − ℓ0 = ℓ0 1 + q 2 /ℓ20 − 1 ∼ ℓ0 (1 + q 2 /2ℓ20 ) − 1 = q 2 /2ℓ0 だから L= m 2 k m ˙ − 2 q4 2 8ℓ0 従って c= k 8ℓ20 問題 3 [1] L= k m 2 2 (q˙ + q˙22 ) − [ℓ(q1 , q2 ) − 1] 2 1 2 に対応する記号。 1 [2] A= 1 , ℓ B= 1 2 問題 4 カーテシアン座標をとり、ラグランジアン L= から運動方程式の x1 成分を作る。から d dt m x˙ · x˙ + eA · x˙ − eϕ 2 ∂L = mx˙ 1 + e A1 ∂ x˙ 1 ( ∂L ∂ x˙ 1 ) = m¨ x1 + e ∂A1 ∂A x˙ j + e ∂xj ∂t また、 ∂L ∂Aj ∂ϕ =e x˙ j − e ∂x1 ∂x1 ∂x1 である。したがって、運動方程式の x1 成分は、 { } { } ∂A1 ∂A ∂Aj ∂ϕ m¨ x1 + e x˙ j + e − e x˙ j − e =0 ∂xj ∂t ∂x1 ∂x1 ここで j について 1 から 3 までの和をとるときに j = 1 では ∂A1 /∂xj と ∂Aj /∂x1 の二つは同じなのでキャンセルして { } { } ∂A1 ∂A1 ∂A ∂A2 ∂A3 ∂ϕ m¨ x1 + e x˙ 2 + e x˙ 3 + e − e x˙ 2 + e x˙ 3 − e =0 ∂x2 ∂x3 ∂t ∂x1 ∂x1 ∂x1 となる。つまり ) ( )} { ( ∂A1 ∂A1 ∂A3 ∂A ∂ϕ ∂A2 − − x˙ 3 − −e −e m¨ x1 = e x˙ 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂t ∂x1 ここで (∇ × A)3 = ∂A2 ∂A1 − ∂x1 ∂x2 (∇ × A)2 = ∂A1 ∂A3 − ∂x3 ∂x1 とを使うと ( m¨ x1 = e {x˙ 2 (∇ × A)3 − x˙ 3 (∇ × A)2 } − e である。 E=− ∂A − ∇ϕ ∂t と B =∇×A 2 ∂ϕ ∂A + ∂t ∂x1 ) より m¨ x1 = e (x˙ 2 B3 − x˙ 3 B2 ) + e E1 これは m¨ x1 = e (x˙ × B)1 + e E1 と書ける。他の成分（x2 成分と x3 成分）についても同様である。問題 5 [1] L(q, q) ˙ = m 2 q˙ + 2k cos q 2 H(q, p) = p2 − 2k cos q 2m [2] [3] { p q˙ = m p˙ = −2k sin q (1) [4] この場合のラグランジアンは q に依存しない。正準方程式と初期条件から p = const. = 0, q˙ = 0 である。従って初期の位置 q = π/3 でずっと静止している。問題 6 [1] とかけるから、これを解いてこれから ( ′) ( q 1 − τ2 = p′ −τ τ 1 ( ) ( q 1 = p τ ) ( ′) q p′ ( と ( ∂q ′ ∂q ∂p′ ∂q ∂q ′ ∂p ∂p′ ∂p ∂q ∂q ′ ∂p ∂q ′ ∂q ∂p′ ∂p ∂p′ −τ 1 − τ2 ) )( ) q p ( 1 − τ2 = −τ ) ( = 1 τ τ 1 −τ 1 − τ2 ) ) を得る。比較すると正準変換の直接条件 ∂p ∂q ′ = ′, ∂q ∂p ∂q ′ ∂q = − ′, ∂p ∂p ∂p′ ∂q = ′, ∂p ∂q が成り立っているので、これは正準変換である。 3 ∂p′ ∂p = − ′. ∂q ∂q [2] p = p − τ q, q ′ = (1 − τ 2 )q + τ p だから 2E ′ = q ′2 + p′2 = (1 − τ 2 + τ 4 )q 2 + (1 + τ 2 )p2 − 2τ 3 qp これは 2E = q 2 + p2 と異なる。つまり全エネルギーは保存しない。 [3] q ′ p′ = (1 − 2τ 2 )qp + τ p2 − τ (1 − τ 2 )q 2 なので q ′2 + p′2 − τ q ′ p′ = q 2 + p2 − τ qp が成り立つ。従って 2E ∗ は保存する。 [4] このアルゴリズムは全エネルギー E は保存しないが、E とは O(τ ) だけ異なる E ∗ を保存する。したがって、長時間積分しても全エネルギーの誤差は O(τ ) にとどまるので、全エネルギーの保存性が重要な問題を解くのに適している。問題 7 “ダルメシアン” が出てくる文の記号。 4