確率変数と確率分布 - ns1 home

確率変数と確率分布
補論
確率変数の意味
離散型の確率変数
累積分布関数
補論
確率の基本概念(pp.64-65)
確率の基本計算(pp.70-75)
加法定理
条件付確率と乗法定理
ベイズ定理
順列と組合せの計算
順列の計算
定義：ｎ個の異なるものの中からｒ個取り出
して順序をつけて並べたとき、その総数を
Pr
nで表し、順列（Permutation）という。
n!
n Pr 
(n  r )!
ｎ!はｎの階乗といい、
n!=n(n-1)(n-2)・・・３・２・１
組合せの計算
定義：ｎ個の異なるものの中から順序を区
別しないで、ｒ個取り出して１組としたものを、
ｎ個のものからｒ個取った組合せ
（Combination)という。その総数を n C r で
表す。
Pr
n!

nCr
r! r!(n  r )!
n
計算の例
10人の学生から4人の代表を選ぶ方法数
は
n!
nCr
r!(n  r )!
により
10  9  8  7
 210
10 C4 
4  3  2 1
となる。
X
あたの定確ｘ現表確
ると値の率はしし率
。みを確変、た、変
る実率数実デ実数
の現で現ー際を
でしそが前タに
一の実で
X
A B C 計
賞金 10,000 8,000 5,000
本数 100 300 600 1000
確
率
変
数
の
意
味
確率変数の定義
その取りうる値ごとにそれぞれ確率が与え
られている変数を確率変数(Random
Variable)という。
確率変数の値と確率の対応
xi
P( X  xi )
x1  10,000 x2  8,000 x3  5,000 計
0.1
0.3
0.6
1
確率分布
それぞれの確率変数をとる値とその確率
の対応関係を確率分布（Probability
Distribution）。
前例でみると、
P( X  x )  0.1
1
P( X  x2 )  0.3
P( X  x3 )  0.6
実数、確率変数、確率関数の表現
小文字ｘは実数を表す
大文字Xは確率変数を表す
Xの各取りうる値ｘに対して、それが起こる
確率 P( X  xi ) をｘの関数とみて確率関数と
(i  1,2,3,  n)
いう
。
離散型の確率変数
確率変数Xの取りうる値は、有限個また無
限個の、とびとびの値である場合、その確
率変数を離散型（discrete type)確率変数
と呼ばれる。
P( X  xi )  p( xi )
p( xi )  0, (i  1,2,  n)

 p( x )  1
i 1
i
累積分布関数
離散的確率変数Xが実数ｘ以下である確率
の累積和
j
F ( x)  P( X  x)   p( xi )
i 1
を累積分布関数、あるいは略して分布関数
と呼ぶ。
累積分布関数の性質
①
F ()  0, F ()  1
② x1  x2 ならば
③
F ( x1 )  F ( x2 )
P(a  x  b)  F (b)  F (a)
例題１、p82
10円の硬貨4枚を同時に投げて、表が出
た硬貨の金額の合計をXとするとき、Xの
確率分布を表で表せ。また、P( X  30) を
求めよ。
解説：
ｘを表が出た回数とする。
解説：
全事象：ある試行において起こりうるすべ
ての事象の集合。
N ()  2  16
4
根本事象：ある試行においてその個々の
発生した結果。
表が1回出れば10円なので、表 x i が i 回
( i =0,1,2,3,4,)出るという根本事象数は
解説：
N (0)4 C0  1
4  3 2
N (3) 4 C3 
4
3  2 1
4
N (1)  4 C1   4
1
4  3  2 1
N (4) 4 C4 
1
4  3  2 1
43
N (2) 4 C2 
6
2 1
となる。
解説：Xの確率分布
ｘ
0
1
2
3
4
P(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
F (30)  P( X  30)
 p(0)  p(10)  p(20)  p(30)
1
4
6
4 15





16 16 16 16 16
確率関数と分布関数の関係
確率関数は一つの特定の確率変数がと
る確率を意味するが、分布関数はある範
囲の取りうる確率変数値に対する確率の
累積和を表す。

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