統計学

統計学入門(1)
第11回
確率の基礎、確率分布モデル
今日の話題


前期の残りの予定
確率
考え方・概念
 確率を利用することの意味
 確率変数、期待値

今後の予定

１１回（７月２日）


確率の概念
確率分布モデル




正規分布
２項分布
ポワソン分布
１２回（７月３日）

確率の利用


確率に基づく推論
ベイズの定理
確率


何らかの事象が発生する起こりやすさを０から１
の間の数字で表現したもの
たとえば、

降水確率（雨が降る確率）

打率（ヒットを打つ確率）

故障率（故障が発生する確率）
確率を用いること

不確実な事象の理解を含める




複雑な仕組みを確率を使用することで、簡単
に表現できる
予測などでは、確率を用いることで十分なこと
も
コストパフォーマンスがよい
ミクロ的な視点でなく、マクロ的な視点で
さまざまな確率の定義

先験的確率


経験的確率


事前に設定される確率
頻度に基づく確率で、数多くの繰り返しを行った場合
の割合として、求められる確率
主観的確率

それぞれの人が考える主観的な信念あるいは信頼の
度合として表される確率
大数の法則


数多くの試行を繰り返せば、その相対頻度
は、確率に近づくという法則
例：


正確なさいころがあって、そのさいころを振っ
て1の目が出る割合は、振る回数を増やして
いくと、1/6に近づく
コインを投げたときに表が出る割合は、投げる
回数を増やしていくと1/2に近づく
コイン投げで表が出た割合
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0
5
0
0
1
0
0
0
1
5
0
0
2
0
0
0
2
5
0
0
3
0
0
0
回数が増えるに従って、0.5に近づく
確率変数

変数：


いろいろな値を取る
確率変数：

ある確率でいろいろな値を取る
確率変数

離散確率変数

離散的な値しか取らない確率変数


離散的な値について、その値をとる確率を考える
連続確率変数

連続的な値を取る確率変数



値の種類が無限個あるので、値毎の確率は考え
ない
値の範囲に対して、確率を考える
値の起こりやすさは評価できる：確率密度を使用
確率と確率密度
確率密度（値の起こりやすさ）
確率（値の起こりやすさ）
0
1
2
3
4
5
確率はそれぞれの値に対して定義される
離散確率変数の場合
確率は範囲に対して定義される
連続確率変数の場合
コインの例(表の数)
表・表
X
裏・表
表・裏
裏・裏
確率
変数
２
１
１
０
確率変数と確率

2回コインを投げて表が出る回数
P(X=0) = P(「裏・裏」)
P(X=1)
= P(「表・裏」または「裏・表」)
= P(「表・裏」）+P(「裏・表」)
P(X=2) = P(「表・表」)
コインを２回投げたときの表の数
X
確率
累積確率
1.00
確率
累積確率
０
0.25
0.25
１
0.50
0.75
0.50
２
0.25
1.00
0.25
計
1.00
0.75
0.00
0
1
2
コインを５回投げたときの表の数
X
確率
累積確率
0
(1 / 2)5
0.031
1
5(1 / 2)5
0.188
1.00
2
10(1 / 2)5
0.500
0.75
3
10(1 / 2)
5
0.813
0.50
4
5
0.969
0.25
5
5(1 / 2)
(1 / 2)5
1.000
確率
累積確率
0.00
0
1
2
3
4
5
確率変数の期待値
期待値とは、確率変数の平均
定義：
値と確率の積の和
E( X )   xP( X  x)
E( )は、( )の中の期待値
コインの例
(X:コインを２回投げたときの表の数)
P( X=0 ) = 1/4
P( X=1 ) = 2/4
P( X=2 ) = 1/4
X の期待値の計算
E(X) = 0 ･ 1/4 + 1 ･ 2/4 + 2 ･ 1/4
= 1
宝くじの期待値（ジャンボ宝くじの
例）
等級
1等
当せん金額
確率
当せん金額×確率
2億円
0.0000001
20
5000万円
0.0000002
10
10万円
0.0000099
0.99
2等
1億円
0.0000003
30
3等
1000万円
0.000001
10
4等
100万円
0.000001
1
5等
1万円
0.001
10
6等
3000円
0.01
30
7等
300円
0.1
30
期待値
141.99
1等の前後賞
1等の組違い賞
当せん金額をXとしている。X=0の場合（はずれ）は表からはぶいている

次のような２種類の宝くじがある。以下の問いに答えよ。
宝くじA
１等
2等
3等
4等
はずれ
確率
1/10000
1/1000
1/100
1/10
？？？
賞金(円)
200,000
10,000
2,000
200
0
宝くじB
１等
はずれ
確率
1/10000
？？？
賞金(円)
700,000
0
（１）このくじを買ったときの賞金の期待値を、ぞれぞれ求めよ。
（２）この宝くじが１００円で販売されている。
どちらの宝くじを購入したいか。理由をつけて答えなさい。

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