電磁気学 2 秋学期レポート問題第 3 回 2015/10/20 レポート提出日 : 2015/10/27 の授業中各レポートの問題と解答は http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/˜ishizuka/Link/gakumu.html にあります。 1. 静電ポテンシャルが ϕ(⃗r) = Q 1 −mr e 4πϵ0 r ( r = |⃗r| , m > 0 ) (1) である場合を考える。 ⃗ r) と電荷密度 ρ(⃗r) を求めよ。 (a) 微分形の Gauss の法則から、電場 E(⃗ (b) 半径 R の球面を S とする。この球面上で、 ∫ ⃗ q(R) = ϵ0 dS ⃗n · E (2) S を計算せよ。 (c) Gauss の法則によれば、前問で求めた q(R) は、半径 R の球内 V に含まれる電荷と等しいはずである。これを実際に以下の積分を計算して確かめよ。 ∫ d3 rρ(⃗r) (3) V ここで、ρ(⃗r) は問題 (a) で求めた電荷密度である。 (d) 全電荷を求めよ。裏へ続く 1 2. 無限に広がった xy-平面の z = −h と z = h ではさまれる領域に一定電荷密度 ρ0 で電荷が分布している場合を考える。静電ポテンシャル ϕ(⃗r) は、以下の Poisson 方程式を満たす。 ∇2 ϕ(⃗r) = −ρ(⃗r)/ϵ0 (4) ここで、ρ(⃗r) は位置 ⃗r での電荷密度であるが、今の問題の場合、以下であたえられる。 ρ(⃗r) = ρ0 · Θ(h − z)Θ(h + z) , ( ⃗r = (x, y, z) ) (5) ⃗ r) は以下の形をとる。 xy-平面内の並進対称性より、静電ポテンシャル ϕ(⃗r) と電場 E(⃗ ϕ(⃗r) = ϕ(z) ⃗ r) = E(z) · ⃗ez E(⃗ , ( ⃗r = (x, y, z) ) (6) (7) 従って、(4) は以下となる。 d2 ϕ(z) = −(ρ0 /ϵ0 ) · Θ(h − z)Θ(h + z) dz 2 (8) (a) (8) を x < −h, −h < z < h, h < z の三つの領域に分けて積分し、ϕ(z) を求めることを考える。ここで、ϕ(0) = 0 ととることにする。積分で求めた ϕ(z) には、いくつかの未定定数が含まれるが、条件 : z = h と z = −h で、ϕ(z) と E(z) が連続である。 (9) から、未定定数が一意に決定する。これらを使って ϕ(z) を求めよ。また、ϕ(z) から E(z) を求めよ。 (b) 積分型 Gauss の法則を使って、電場を求め、前問の答えと比較せよ。 2