ダウンロード

1
クイズ
ˆ (⃗k), N
ˆ † (k⃗ ′ )] を計算せよ．
1. 実スカラー場に対して [N
ˆa
2. N
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩ を求めよ．
ˆ |0⟩ を求めよ．
3. N
ˆ に対するハイゼンベルクの
4. 複素スカラー場を考えよ．電荷演算子 Q
運動方程式を考察することによって，電荷が保存されているかどうか
決定せよ．
Q˙ = [H, Q]
この計算は
∫
[
]
d3 kωk a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) + ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k)
∫
[
]
d3 kq a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) − ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k)
ˆ =
H
ˆ=
Q
ˆaˆ − N
ˆˆ)
=q(N
b
ˆ†
′
′
[ˆb(⃗k), b (k⃗ )] =δ(⃗k − k⃗ )
式 (1) と (2) 及び，交換関係 (3) を使って行え．
(1)
(2)
(3)
2
解答
問1
ˆ (⃗k), N
ˆ † (⃗k)] を計算せよ．
実スカラー場に対して [N
ˆ (⃗k), N
ˆ † (k⃗ ′ )]
[N
ˆ (⃗k)N
ˆ † (k⃗ ′ ) − N
ˆ † (k⃗ ′ )N
ˆ (⃗k)
=N
=ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (k⃗ ′ ) − a
ˆ(k⃗ ′ )ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)
=ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (k⃗ ′ ) − a
ˆ(k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
=ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (k⃗ ′ )
− [ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) + δ(k⃗ ′ − ⃗k)][ˆ
a(⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ ) − δ(⃗k − k⃗ ′ )]
=ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (k⃗ ′ ) − a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )
+ δ(⃗k − k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ ) + δ(k⃗ ′ − ⃗k)δ(⃗k − k⃗ ′ )
=δ(⃗k − k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) − δ(⃗k − k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k) + δ(⃗k − k⃗ ′ )2
= − δ(⃗k − k⃗ ′ )[ˆ
a(k⃗ ′ ), a
ˆ† (⃗k)] + δ(⃗k − k⃗ ′ )2
= − δ(⃗k − k⃗ ′ )δ(k⃗ ′ − ⃗k) + δ(⃗k − k⃗ ′ )2
=0
よって，
ˆ (⃗k), N
ˆ † (k⃗ ′ )] = 0 [N
· · · 解答
3
問2
ˆa
N
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩ を求めよ．
ˆa
N
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩
∫
= d3 k ′ a
ˆ† (k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)|n(⃗k)⟩
∫
= d3 k ′ a
ˆ† (k⃗ ′ )[ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) + δ(k⃗ ′ − ⃗k)]|n(⃗k)⟩
∫
∫
= d3 k ′ a
ˆ† (k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )|n(⃗k)⟩ + d3 k ′ δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )|n(⃗k)⟩
∫
d3 k ′ a
ˆ† (⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )|n(⃗k)⟩ + a
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩
∫
=ˆ
a† (⃗k) d3 k ′ a
ˆ† (k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )|n(⃗k)⟩ + a
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩
=
ˆ |n(⃗k)⟩ + a
=ˆ
a† (⃗k)N
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩
=ˆ
a† (⃗k)n(⃗k)|n(⃗k)⟩ + a
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩
=[n(⃗k) + 1]ˆ
a† (⃗k)|n(⃗k)⟩
よって，
ˆa
N
ˆ† (⃗k)|n(⃗k)⟩ = [n(⃗k) + 1]ˆ
a† (⃗k)|n(⃗k)⟩ · · · 解答
問3
ˆ |0⟩ を求めよ．
N
∫
ˆ |0⟩ =
N
d3 kˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)|0⟩ = 0 · · · 解答
4
問4
ˆ に対するハイゼンベルクの運動
複素スカラー場を考えよ．電荷演算子 Q
方程式を考察することによって，電荷が保存されているかどうか決定せよ．
Q˙ = [H, Q]
この計算は
∫
ˆ =
H
∫
ˆ=
Q
[
]
d3 kωk a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) + ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k)
(1)
[
]
d3 kq a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) − ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k)
ˆaˆ − N
ˆˆ)
=q(N
b
[ˆb(⃗k), ˆb† (k⃗ ′ )] =δ(⃗k − k⃗ ′ )
式 (1) と (2) 及び，交換関係 (3) を使って行え．
(2)
(3)
5
ˆ Q]
ˆ
[H,
ˆQ
ˆ−Q
ˆH
ˆ
=H
∫
[
]
ˆaˆ − N
ˆˆ)
= d3 kωk a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) + ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k) q(N
b
∫
[
]
ˆaˆ − N
ˆˆ) d3 kωk a
− q(N
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k) + ˆb† (⃗k)ˆb(⃗k)
b
∫
∫
[
][
]
ˆaˆ (⃗k) + N
ˆˆ(⃗k) N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆˆ(k⃗ ′ )
= d3 k d3 k ′ qωk N
b
b
∫
∫
]
][
[
ˆaˆ (⃗k) + N
ˆˆ(⃗k)
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆˆ(k⃗ ′ ) N
− d3 k d3 k ′ qωk N
b
b
∫
∫
= d3 k d3 k ′ qωk
[
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆaˆ (k⃗ ′ )N
ˆaˆ (⃗k) + N
ˆˆ(⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆaˆ (k⃗ ′ )N
ˆˆ(⃗k)
N
b
b
]
ˆaˆ (⃗k)N
ˆˆ(k⃗ ′ ) + N
ˆˆ(k⃗ ′ )N
ˆaˆ (⃗k) − N
ˆˆ(⃗k)N
ˆˆ(k⃗ ′ ) + N
ˆˆ(k⃗ ′ )N
ˆˆ(⃗k)
−N
b
b
b
b
b
b
{[
∫
∫
] [
]
3
3 ′
ˆˆ(⃗k), N
ˆaˆ (k⃗ ′ )
ˆaˆ (⃗k), N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) + N
= d k d k qωk N
b
[
] [
]}
ˆaˆ (⃗k), N
ˆˆ(k⃗ ′ ) − N
ˆˆ(⃗k), N
ˆˆ(k⃗ ′ )
− N
b
b
b
ここで，演算子 a
ˆ, a
ˆ† が常に ˆb, ˆb† と交換することより，
[
] [
]
ˆaˆ (⃗k), N
ˆˆ(k⃗ ′ ) = N
ˆˆ(⃗k), N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) = 0
N
b
である．一方，
b
6
[
ˆaˆ (⃗k), N
ˆaˆ (k⃗ ′ )
N
]
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆaˆ (k⃗ ′ )N
ˆaˆ (⃗k)
=N
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − a
=N
ˆ† (k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(⃗k)
[
]
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − a
=N
ˆ† (k⃗ ′ ) a
ˆ† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) + δ(k⃗ ′ − ⃗k) a
ˆ(⃗k)
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − a
=N
ˆ† (k⃗ ′ )ˆ
a† (⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − a
=N
ˆ† (⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ )
=N
−a
ˆ† (⃗k)[ˆ
a(⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ ) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)]ˆ
a(k⃗ ′ ) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − a
=N
ˆ† (⃗k)ˆ
a(⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(k⃗ ′ )
+a
ˆ† (⃗k)δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a(k⃗ ′ ) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ ) − N
ˆaˆ (⃗k)N
ˆaˆ (k⃗ ′ )
=N
+ δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k) − δ(k⃗ ′ − ⃗k)ˆ
a† (k⃗ ′ )ˆ
a(⃗k)
=0
同様に交換関係 (3) を使うと，
[
]
ˆˆ(⃗k), N
ˆˆ(k⃗ ′ ) = 0
N
b
b
も示せる．したがって，
˙ H,
ˆ Q]
ˆ =0 Q[
である．よって電荷は保存する．
· · · 解答

Download Report