電磁気学 2 秋学期 レポート問題 第 7 回 2015/11/24 解答 各レポートの問題と解答は http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/˜ishizuka/Link/gakumu.html にあります。 1. (a) 内側の半径 a の導体に電荷 Q を、外側の半径 b の導体に電荷 −Q をあたえたとする。 このとき、コンデンサー内に発生する電場をもとめる。電場は対称性より以下の形を とる。 ⃗ r) = E(r) · ⃗r/r E(⃗ (1) 半径 R (a < R < b) の球 を考え内部を V とし、表面を S とする。V に対し積分形 Gauss の法則を使うと、(1) より以下を得る。 ∫ ∫ 2 ⃗ · ⃗n d r ρ(⃗r) = ϵ dS E S V =Q よって、 E(r) = = 4πϵR2 · E(R) (2) Q 2 /r 4πϵ (3) よって、電位差は ∫ V =− ∫ a ⃗ r) = − d⃗r · E(⃗ a dr b b Q Q 2 /r = (1/a − 1/b) 4πϵ 4πϵ (4) よって静電容量は以下である。 C = Q/V = 4πϵ/(1/a − 1/b) (5) (b) 中心から r の位置にある厚さ dr の球殻を考える。この部分の電気抵抗は以下である。 dR = 1 dr σ 4πr2 全体の電気抵抗はこれを積分して得られる。 ∫ ∫ b 1 1 dr = (1/a − 1/b) R = dR = 2 4πσ a σ 4πr (6) (7) これから、以下が分かる。 R·C = 1 (1/a − 1/b) · 4πϵ/(1/a − 1/b) = ϵ/σ 4πσ 1 (8) 2. ⃗ r) = µ0 B(⃗ 4π ∫ µ0 I = 4π d3 r ′ ∫ µ0 I = 4π = = = = ∫ ⃗i(⃗r ′ ) × (⃗r − ⃗r ′ ) |⃗r − ⃗r ′ |3 ⃗ez × (⃗r − ⃗r ′ ) · δ(x′ )δ(y ′ ) |⃗r − ⃗r ′ |3 ⃗ = (x, y, 0) ⃗ ⃗r = (x, y, z) , R , R = |R| ⃗ ′ = (x′ , y ′ , 0) , R′ = |R ⃗ ′| ⃗r ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) , R ⃗ −R ⃗ ′) ⃗ez × (⃗r − ⃗r ′ ) = ⃗ez × (R ⃗ −R ⃗ ′ |2 + (z − z ′ )2 |⃗r − ⃗r ′ |2 = |R dx′ dy ′ dz ′ dx′ dy ′ dz ′ ( ⃗ −R ⃗ ′) ⃗ez × (R ⃗ −R ⃗ ′ |2 + (z − z ′ )2 |R ′ ′ )3/2 · δ(x )δ(y ) ∫ ⃗ µ0 I ∞ ′ ⃗ez × R dz 4π −∞ (R2 + (z − z ′ )2 )3/2 ∫ ∞ ( )−3/2 µ0 I ⃗ (⃗ez × R) dz ′ R2 + (z − z ′ )2 4π −∞ µ0 I ⃗ · 2 (⃗ez × R) 4π R2 ( ) µ0 I 1 ⃗ ⃗et ⃗et = ⃗ez × R/R · 2π R 2 (9)
© Copyright 2024 ExpyDoc
