量子力学 A(3 年前期) 期末テスト
2013. 7. 24
問題 0. (おまけ 3 点)
(i) 島根県は，最近，所在地がわからない県ワースト１を返上したそうです．
「島根は鳥
取の左です！」と書いてある島根アピール T シャツが話題になったことからかもし
れません．これを物理の専門用語を流用して言えば，
「この T シャツによって島根と鳥取の縮退が○けた」
となります．○に入る漢字１文字は何でしょうか．
(ii) 時刻 t における波動関数 ψ(r, t) が，ψ(r, t) = e−iωt u(r) の形をしている．ここで，ω
は正の定数である．状態がこのような波動関数で与えられているときに系のエネル
ギーを測定する．エネルギー測定値における不確定性は原理的にはどこまで小さく
出来るかを説明せよ？
(iii) 時間を含むシュレーディンガー方程式は波動関数に対する確率解釈とは矛盾しない
というが，それはどういう意味で矛盾しないのか？
問題 1. (配点予定：40 点)
(1) 半径 R，中心角 ϕ の扇形の弧の長さ a を求めるのに，次のような計算をする人がい
た．間違いではないものの何かズレている．何がおかしいのか？
［計算］ この扇形と半径 R の円とを比べる．弧の長さと円周との比は，中心角の
比に等しいので，a/(2πR) = ϕ/(2π)．これより，
a=
ϕ
× 2πR = Rϕ.
2π
(2) x が十分に大きいとき（x → ∞ のとき)，下の量を 小→大 の順に並べよ．ただし，
自信のないものについては，大小関係に含めずに，不明としておくこと．並べたも
のの中で一個でも間違いがあれば 0 点とする．間違いがない場合，正しく並べられ
た関数に応じて点数をつける．
（ヒント：x = eln x ）
2
2
1, x, xx , xx , ex , ex .
(3) ポテンシャルが V (x) = (x2 − 1)e−x で与えられる 1 次元 1 粒子系のエネルギー固
有値問題を考える．
（適当な単位系をとることで，x や V やエネルギーは無次元量に
なっている．
）V (x) のグラフの概形を描き，エネルギー固有値 E がどのような範囲
にあるときに連続スペクトルとなるかを言え．
2
(4) 質量 m，電荷 q の荷電粒子が静磁場中を運動する系を考える．粒子の位置座標を r
とすれば，ラグランジアンは
L(r, ṙ) =
m 2
ṙ + q ṙ · A(r)
2
で与えられる．ここで，A(r) は磁場を表すベクトルポテンシャルである．この系の
時間を含まない (time-independent) シュレーディンガー方程式を書け．波動関数の
変数も省略せずにちゃんと書くこと．
問題２. (配点予定：20 点)
x 軸上を運動する質量 m の 1 粒子系に対するシュレーディンガー方程式を考える：
[
]
∂ψ(x, t)
h̄2 ∂ 2
ih̄
= −
+ V (x, t) ψ(x, t)
(#)
∂t
2m ∂x2
ここで，V (x, t) は（一般には時間 t に依存する）ポテンシャルである．
(1) (#) の解 ψ(x, t) に対して，ϕ(x, t) ≡ ψ ∗ (x, −t) と置く．ϕ(x, t) が満たす (#) に似た
形の微分方程式を導け．
(2) ポテンシャルが時間 t に依存しない場合 (すなわち，V (x, t) = V (x) の場合)，この
系の時間発展に関して（古典力学でも成り立っていた）物理的に重要なことが言え
る．ϕ(x, t) が満たす式から，このことを説明せよ．
問題３. (配点予定：40 点)
x 軸上を運動する質量 m の粒子を考える．ポテンシャル V (x) が
V (x) =
{
V0
(x < 0)
0
(x > 0)
で与えられるとする (V0 > 0)．このとき，x の正側から負の向きに入射ビーム (入射波) が
エネルギー E (E > V0 ) で入ってきて，このポテンシャルで散乱されるものとする．
（E は，
この系の時間を含まないシュレーディンガー方程式のエネルギー固有値．
）
(1) 上の物理的状況設定のもとで，時間を含まないシュレーディンガー方程式の x < 0
の領域の解 u1 (x) と x > 0 の領域の解 u2 (x) を求めよ．
（波動関数の x = 0 での接続
条件はまだ考えなくてもよい．
）
(2) x = 0 での波動関数の接続条件を u1 (x) と u2 (x) の記号を使って書き表せ．
(3) この散乱における透過率を T と反射率を R を求めよ．
(4) 0 < E < V0 の場合は上の場合と状況が異なる．この場合の時間を含まないシュレー
ディンガー方程式の，x < 0 の領域の解を求めよ．
（x = 0 での接続条件は考えなく
てよい．
）
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