第04回 10月27日

電磁気学 2 秋学期レポート問題
第 4 回 2015/10/27
レポート提出日 : 2015/11/10 の授業中
各レポートの問題と解答は
http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/˜ishizuka/Link/gakumu.html
にあります。
1. z 軸方向に無限に長い半径 a の円柱があり、その円柱内に一定電荷密度 ρ0 で電荷が分布し
ている場合を考える。
静電ポテンシャル ϕ(⃗r) は、以下の Poisson 方程式を満たす。
∇2 ϕ(⃗r) = −ρ(⃗r)/ϵ0
(1)
ここで、ρ(⃗r) は位置 ⃗r での電荷密度であるが、今の問題の場合、円柱の中心軸を z 軸による
と以下であたえられる。
(
)
⃗ = (x, y, 0) , R = |R|
⃗
ρ(⃗r) = ρ0 · Θ(a − R)
⃗r = (x, y, z) , R
(2)
⃗ r) は以下の形をとる。
(a) z 軸まわりの回転対称性より、静電ポテンシャル ϕ(⃗r) と電場 E(⃗
ϕ(⃗r) = ϕ(R)
⃗ r) = E(R) · R/R
⃗
E(⃗
(
⃗ = (x, y, 0) , R = |R|
⃗
⃗r = (x, y, z) , R
)
(3)
(4)
これから、以下を示せ。
[
]
1 d
d2
1 d
d
∇ ϕ(⃗r) =
ϕ(R) +
ϕ(R) =
R
ϕ(R)
R dR
dR2
R dR
dR
2
= −ρ(⃗r)/ϵ0 = −ρ0 /ϵ0 · Θ(a − R)
(5)
(b) (5) を R > a と R < a に分けて積分し、ϕ(R) を求めることを考える。
ここで、ϕ(0) = 0 ととることにする。
積分で求めた ϕ(R) には、いくつかの未定定数が含まれるが、条件 :
• R = 0 で、ϕ(R) が有限値をとる。
• R = a で、ϕ(R) と電場 E(R) が連続である。
から、未定定数が一意に決定する。これらを使って ϕ(R) を求めよ。また、ϕ(R) から
電場 E(R) を求めよ。
(c) 積分型 Gauss の法則を使って、電場を求め、前問の答えと比較せよ。
2. 半径 a の球内に一定電荷密度 ρ0 で電荷が分布しているとする。
⃗ を求めよ。
(a) 球内外の電場 E
(b) この物理系に蓄えられている静電 energy U は、以下から得ることができる。
∫
ϵ0
⃗ r)|2
d3 r |E(⃗
U=
2
この積分を計算し、物理系に蓄えられている静電 energy U を求めよ。
1
(6)

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