第1回

物理学演習 IIB 問題 No.1 (物理数学 II)
2015 年 9 月 28 日
注意：問題は 1 から 8 まで連続しているので, 問題 1 から順に解いていくこと。
1. [内積の定義された線形空間]
V を N 次元複素線形空間 (複素ベクトル空間) とする。定義から, V の任意の 2 つの元 (ベクト
ル) u, v に対して, その線形結合 c1 u + c2 v (c1 , c2 は複素数) も V の元である。V の 2 つの元
u, v の内積 (u, v) は, u, v から決まる複素数であり, 性質
(i)
(u, c1 v 1 + c2 v 2 ) = c1 (u, v 1 ) + c2 (u, v 2 ),
(ii)
(u, v)∗ = (v, u),
(iii)
(v, v) ≧ 0
(等号は v = 0 のとき)
(1)
を満たす。
(a) (c1 u1 + c2 u2 , v) = c∗1 (u1 , v) + c∗2 (u2 , v) を示せ。
√
(b) 性質 (iii) から, v のノルム ||v|| ≡ (v, v) ≧ 0 を定義することができる。シュワルツの不
等式
|(u, v)| ≦ ||u|| ||v||
(2)
が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのような場合か答えよ。
2. [正規直交基底]
N 次元複素線形空間 V の正規直交基底を {e1 , e2 , · · · , eN } とすると, その内積は,
(i, j = 1, 2, · · · , N )
(ei , ej ) = δij
(3)
である。V の任意の元 v は, 正規直交基底の線形結合として,
v=
N
∑
vi ei
(vi は複素数)
(4)
i=1
と表せる。係数 vi を, この正規直交基底における v の成分という。
(a) vi = (ei , v) と表せることを示せ。
(b) V の 2 つの元 u, v の内積 (u, v) を, 成分 ui , vi を使って表せ。
(c) 正規直交基底の選び方は一意的ではない。新しい正規直交基底を {e′1 , e′2 , · · · , e′N } とする
と, e′i は V の元なので, もとの正規直交基底の線形結合として,
e′i =
N
∑
ej Uji
(5)
j=1
と表せる。Uij が ij 成分である N × N 行列を U とするとき, U がユニタリー行列である
ことを示せ。
(d) (4) の v を, 新しい基底を使って,
v=
N
∑
vi′ e′i
(6)
i=1
と表すことができる。新しい基底における成分 vi′ を, もとの基底における成分 vi を使っ
て表せ。
1
3. [線形演算子]
複素線形空間 V における線形演算子 Â は, V から V への写像であり, 線形性
Â(c1 v 1 + c2 v 2 ) = c1 Âv 1 + c2 Âv 2
(c1 , c2 は複素数)
(7)
を満たすものとして定義される。(以下では線形演算子のみを扱うため, 単に「演算子」とよ
ぶ。) 線形性から, V の任意の元に対する Â の作用は, 基底に対する作用によって決まる。正規
直交基底 {e1 , e2 , · · · , eN } に対する Â の作用を,
Âei =
N
∑
ej Aji
(8)
j=1
とする。Aij が ij 成分である N × N 行列 A を, この基底における演算子 Â を表す行列という。
(a) Aij = (ei , Âej ) と表せることを示せ。
(b) v =
N
∑
vi ei に対して, Âv の成分 (Âv)i を求めよ。
i=1
(c) 2 つの演算子 Â, B̂ の線形結合 aÂ + bB̂ (a, b は複素数) と積 ÂB̂ を,
(aÂ + bB̂)v = aÂv + bB̂v,
(ÂB̂)v = Â(B̂v)
(9)
によって定義する。演算子 aÂ + bB̂, ÂB̂ を表す行列を, 演算子 Â, B̂ を表す行列 A, B を
使って表せ。
(d) 演算子 Â を表す行列は, 基底の選び方に依存する。新しい基底 (5) における行列 A′ を, も
との基底における行列 A を使って表せ。
4. [エルミート共役]
演算子 Â のエルミート共役 Â† を, 任意のベクトル u, v に対する式
(u, Â† v) = (Âu, v)
(10)
によって定義する。
(a) (aÂ + bB̂)† = a∗ Â† + b∗ B̂ † を示せ。
(b) (ÂB̂)† = B̂ † Â† を示せ。
(c) (Â† )† = Â を示せ。
(d) Â を表す行列を A とするとき, Â† を表す行列を求めよ。
5. [エルミート演算子とユニタリー演算子]
Ĥ † = Ĥ を満たす演算子 Ĥ をエルミート演算子という。また, Û † Û = 1̂ = Û Û † (1̂ は恒等演算
子) を満たす演算子 Û をユニタリー演算子という。
(a) Ĥ がエルミート演算子のとき, (v, Ĥv) が実数であることを示せ。
(b) Û がユニタリー演算子のとき, (Û u, Û v) = (u, v) が成り立つことを示せ。
(c) エルミート演算子を表す行列はエルミート行列であることを示せ。
(d) ユニタリー演算子を表す行列はユニタリー行列であることを示せ。
2
6. [固有値問題]
演算子 Â に対して, ゼロでないベクトル v が存在して,
(λ は複素数)
Âv = λv
(11)
が成り立つとき, v を Â の固有ベクトル, λ を固有値という。演算子 Â が与えられたとき, その
固有値と固有ベクトルを求める問題を固有値問題という。
(a) エルミート演算子の固有値は実数であることを示せ。
(b) エルミート演算子の異なる固有値の固有ベクトルは直交することを示せ。ただし, 2 つの
ベクトルが直交するとは, 内積がゼロであることを意味する。
(c) ユニタリー演算子の固有値は絶対値が 1 の複素数であることを示せ。
7. [エルミート演算子の固有値問題]
エルミート演算子 Â の固有値問題を考える。ある正規直交基底 {e1 , e2 , · · · , eN } における Â
を表すエルミート行列を A とする。一般に, エルミート行列 A は, 適当なユニタリー行列 U を
使って,

U
−1
λ1

 0
AU = 
 0

..
.
0
0
λ2
0
..
.
0
λ3
···


··· 



..
.
(12)
のように対角化できる。ここで, U −1 はユニタリー行列 U の逆行列である。(12) を成分で書け
ば, (U −1 AU )ij = λi δij となる。
(a) このユニタリー行列 U を使って,
e′i =
N
∑
ej Uji
(13)
j=1
とおくとき, e′i は Â の固有値 λi の固有ベクトルであることを示せ。(したがって, 行
列の固有値問題を解けば, 演算子の固有値問題が解ける。(13) は (5) と同じ形であり,
{e′1 , e′2 , · · · , e′N } は新しい正規直交基底をなす。)
具体例として, 2 次元複素線形空間におけるエルミート演算子 Â が, 正規直交基底 {e1 , e2 } に
対する作用
Âe1 = ie2 ,
Âe2 = −ie1
(14)
によって定義されている場合を考える。
(b) Â を表す 2 × 2 行列 A を求めよ。また, A がエルミート行列であることを確かめよ。
(c) 行列 A の固有値を求めよ。
(d) U −1 AU が対角行列になるような 2 × 2 ユニタリー行列 U を求めよ。
(e) 演算子 Â の固有ベクトルからなる正規直交基底 {e′1 , e′2 } を求めよ。
3
8. [同時対角化]
2 つのエルミート演算子 Â, B̂ を表す行列 A, B が同時に対角行列になるように正規直交基底を
選ぶことができるとき, その 2 つの演算子は同時対角化可能であるという。そのような基底に
対する演算子の作用は,
Âei = ai ei ,
B̂ei = bi ei
(15)
となる。ここで, ai , bi は行列 A, B の固有値である。(15) を満たすベクトル ei を, Â と B̂ の
同時固有ベクトルという。
(a) 2 つの演算子 Â, B̂ が同時対角化可能ならば, それらは可換 ÂB̂ = B̂ Â でなければならな
いことを証明せよ。(逆に, 2 つの演算子が可換ならば, それらは同時対角化可能であるこ
とが証明できる。したがって, 2 つの演算子が可換であることは, それらが同時対角化可能
であるための必要十分条件である。)
(b) 2 つの演算子 Â, B̂ が可換であること (ÂB̂ = B̂ Â) と, それらを表す行列 A, B が可換であ
ること (AB = BA) は同値であることを示せ。
具体例として, 2 次元複素線形空間における 2 つのエルミート演算子 Â, B̂ を表す行列が, ある
正規直交基底 {e1 , e2 } において,
(
A=
0 1
1 0
)
(
,
B=
2 −1
−1 2
)
(16)
である場合を考える。
(c) Â と B̂ が可換であることを示せ。
(d) 2 つの行列 A, B を同時対角化するユニタリー行列 U を求めよ。
(e) 2 つの演算子 Â, B̂ の同時固有ベクトルからなる正規直交基底 {e′1 , e′2 } を求めよ。
[補足]
ここでは, 線形空間のベクトル v と線形演算子 Â を, 基底の選び方に依存しない量として導入
した。線形代数学の初歩では, これらの代わりに, vi = (ei , v) を成分とする列ベクトル



⃗v = 


v1
v2
..
.






(17)
vN
と Aij = (ei , Âej ) を成分とする行列 A を使うことが多い。⃗v と A は基底の選び方に依存した
量であるが, それらを使った記述は, v と Â を使った記述と同等である。
4

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