√ 3, √ (0 ≤ θ 座標空間に 4点A(2, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2

応用数学 I 前期中間試験問題用紙
担当: 電気工学科講師南政孝
試験後, 問題用紙は各自持ち帰ること. 解答する余白が足りない場合は, 裏面を利用してもよい.
その場合は, 裏面に解答していることを分かるように記述すること. 名無しは 0 点とする.
1. ベクトルに関する以下の問いに答えよ
√ √
(a) ベクトル a = (4, 0, 0), b = ( 3, 5, 0) について, v = (cos θ)a + (sin θ)b
(0 ≤ θ < 2π) とおくとき, v の大きさの最大値, 最小値, それぞれのとき
の θ の値を求めよ.
(b) xyz 座標空間に 4 点 A(2, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2), D(1, 3, 7) がある.
3 点 A, B, C を通る平面に関して, 点 D と対称な点を E とするとき, 点 E
の座標を求めよ.
2. 互いに平行でないベクトル a, b, c を位置ベクトルとする 3 点 A, B, C と原点
O の 4 点からなる四面体を考える. この四面体の体積 V は, V = |(a × b) · c|/6
であることを示せ. ただし, それぞれのベクトルのなす角 θ は 0 < θ < π/2 と
する.
3. 曲線および曲面について以下の問いに答えよ.
√
(a) 曲線 r(t) = (cosh t + sinh t, cosh t − sinh t, 2t) 上の t に対応する点を P(t)
で表すとき, 次の問いに答えよ.
i. 点 P(t) における, この曲線の単位接線ベクトル t(t) および単位主法線
ベクトル n(t) を求めよ.
ii. 点 P(1) における, 曲率 κ および曲率半径 ρ を求めよ.
iii. 点 P(0) から点 P(1) までの曲線の長さを求めよ.
(b) 曲面 r(k, θ) = (k cosh θ, k sinh θ, 0) (D : 0 ≤ k ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/3) を図示
し, その面積 S を求めよ.
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4. 次の問いに答えよ. ただし, r = (x, y, z), r = |r| ̸= 0, Q = const., ε = const.,
π は円周率とする. (const. とは, 一定値という意味である. )
(a) ∇r, ∇ · r, ∇ × r, ∇2 r を計算せよ.
(b) ∇(1/r), ∇ · (r/r3 ), ∇ × (r/r), ∇2 (1/r) を計算せよ.
Q
(c) V =
とするとき, −grad V を計算せよ.
4πεr
(d) E = −grad V とするとき, rot E と div E を計算せよ.
5. 曲線
C1 : r(t) = (1, 0, t) (−2 ≤ t ≤ 2)
C2 : r(t) = (1, 2 sin t, 2 cos t) (0 ≤ t ≤ π)
において, 次の問いに答えよ.
√
3
1
(a) 曲線 C1 において, ≤ t ≤
までの曲線の長さを求めよ.
2
2
∫
(b) 曲線 C2 において, スカラー場 φ = y 3 + z 2 の線積分
∫
(c) ベクトル場 a = (x3 y 3 z 5 , x2 z, y + z 2 ) の線積分
φ ds を求めよ.
C2
a · dr を求めよ.
C1 +C2
[問題は以上]
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