練習 (整数問題 No.1) n2 + 5n + 12 が平方数となるような自然数 n を

練習 (整数問題 N o.1)
n2 + 5n + 12 が平方数となるような自然数 n を求めよ。
〔解答〕
(n + 2)2 = n2 + 4n + 4 < n2 + 5n + 12
n2 + 5n + 12 < n2 + 8n + 16 = (n + 4)2
であるから
::::::::::::::::::::::::::::::::::
(n + 2)2 < n2 + 5n + 12 < (n + 4)2 ←−
整数問題
(i) 因数分解する
(ii) 範囲を絞る
(n + 2)2 より大きく，(n + 4)2 より小さい平方数は (n + 3)2
のみ。
よって
n2 + 5n + 12 = (n + 3)2
⇐⇒
n=3
〔別解〕
n2 + 5n + 12 = N 2 (N は自然数。) とおくと
n2 + 5n + 12 − N 2 = 0
n=
−5 ±
√
25 − 4(12 − N 2 )
2
√
2
−5 ± 4N − 23
1
=
···⃝
2
n は自然数なので，4N 2 − 23 が平方数となることが必要である。
⇐⇒
4N 2 − 23 = M 2 (M は自然数。) とおくと
(2N + M )(2N − M ) = 23
M, N は自然数なので，2N + M, 2N − M は整数。
また，2N + M = 3 であるから
(2N + M, 2N − M ) = (23, 1)
⇐⇒
(N, M ) = (6, 11)
1 より，n は自然数なので
⃝
n =
−5 +
√
4 · 62 − 23
=3
2
したがって n = 3
● 範囲の絞り込みはいろいろな方法でできます。倍数・約数の性質を利用する，平方完成する，
因数分解する，値が大きい or 小さいものと入れ替える等。
〔別解〕のほうが一般的かもしれません。

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