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線型代数ノート 11
M. Kurihara
2015 年 7 月 6 日
2 次形式の符号
n n
Q(x1 , ..., xn ) = i=1 j=1 aij xi xj を変数変換して
Q(x1 , ..., xn ) = α1 X12 + ... + αn Xn2 と書き直す。
α1 ,...,αn の中で正のものの数を r 個、負のものの数を s 個とするとき、(r, s)
を 2 次形式 Q(x1 , ..., xn ) の符号と言う。符号は変数変換の取り方によら
ない。
特に、符号が (n, 0) のとき、Q(x1 , ..., xn ) は正定値 (正値) であると言う。
r + s = n のとき、Q(x1 , ..., xn ) は非退化であると言う。A を 2 次形式
Q(x1 , ..., xn ) に対応する n 次行列とするとき、Q(x1 , ..., xn ) が非退化である
ことは、det A = 0 と同値である。
2 変数二次形式と二次形式で表される曲線 (非退化の場合)
a, b, c を正の実数とする。
ax2 + by 2 = c 楕円
ax2 − by 2 = c
双曲線
3 変数二次形式と二次形式で表される曲面 (非退化の場合)
a, b, c, d を正の実数とする。
ax2 + by 2 + cz 2 = d
ax2 + by 2 − cz 2 = d
楕円面
ax2 − by 2 − cz 2 = d
二葉双曲面
一葉双曲面
行列の対角化に関するその他の話題
1. Cayley Hamilton の定理
A を n 次行列、ΦA (x) を特性多項式とするとき、ΦA (A) = O が成立する。
1
2. 最小多項式
A を n 次行列、fA (x) を fA (A) = O をみたす次数が (1 以上であって) 最
小の多項式とする。fA (x) の最高次の係数が 1 のものは、A によって、ただ
ひとつ定まる。この多項式を A の最小多項式と言う。Cayley Hamilton の
定理により、次が成立する。
「ΦA (x) は fA (x) で割り切れる。」
また、
「A が対角化可能 ⇐⇒ fA (x) = 0 が重解を持たない」
が成立する。
3. 行列の m 乗
A を n 次行列で対角化可能とする。P −1 AP = D を対角行列とすると、
D
m
は簡単に計算できる。このことから、Am = P Dm P −1 と計算できる。
11-1. 次の 2 次形式に対し、直交行列
P をとり、
⎛
⎞
⎛
⎞
x
X
⎜
⎟
⎜
⎟
その変換 (⎝ Y ⎠ = P −1 ⎝ y ⎠ なる変換) により、標準形にせよ。
z
Z
また、この 2 次形式の符号を求めよ。
(1) x2 + y 2 − z 2 + 2xy + 2xz − 2yz
(2) −3x2 + y 2 − 3z 2 + 2xy + 6xz + 2yz
11-2. 次の曲面はどのような曲面になるか答えよ。答だけでよい。
(1) x2 + y 2 − z 2 + 2xy + 2xz − 2yz = 1
(2) −3x2 + y 2 − 3z 2 + 2xy + 6xz + 2yz = 1
11-3. 次の行列の特性多項式 (固有多項式) と最小多項式を求めよ。
⎛
⎞
⎛
⎞
2 1 0 0
2 1 0 0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 2 1 0 ⎟
⎜ 0 2 1 0 ⎟
⎟
⎜
⎟
(1) A = ⎜
(2)
A
=
⎜ 0 0 2 0 ⎟
⎜ 0 0 2 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
0 0 0 2
0 0 0 2
提出上記の練習問題を解いて、7 月 13 日のこの授業のときに提出すること
A4 レポート用紙に書くこと。名前、学籍番号、所属学科を忘れずに書くこと。
2

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