P(x)=(x

例題
(整式の割り算 N o.3)
整式 P (x) を x − 1 で割った余りが 4, x2 + 1 で割った余りが 2x + 4 のとき，P (x) を
(x − 1)(x2 + 1) で割った余りを求めよ。
● Q(x) 消去型の応用です。Q(x) を消去するために虚数を用います。
〔解答〕
整式 P (x) を x − 1 で割った余りが 4 であるから
1
···⃝
P (1) = 4
2
P (x) を x + 1 で割ったときの商を Q(x) とおくと
2
···⃝
P (x) = (x2 + 1)Q(x) + 2x + 4
′
P (x) を (x − 1)(x + 1) で割ったときの商を Q (x),
2
余りを ax2 + bx + c (a, b, c は実数) とおくと
P (x) = (x − 1)(x2 + 1)Q′ (x) + ax2 + bx + c
3
···⃝
と表せる。
1 ，⃝
3 より P (1) = a + b + c = 4
⃝
4
···⃝
2
3 に x = i を代入して
⃝,
⃝
P (i) = ai2 + bi + c = 2i + 4
⇐⇒
− a + bi + c = 2i + 4
⇐⇒
(c − a) + bi = 4 + 2i ←− i は i でまとめるのが基本。
c − a, b は実数なので
c − a = 4
b = 2
5
···⃝
6
···⃝
4
5
6 より a = −1, c = 3
⃝,
⃝,
⃝
したがって，求める余りは −x2 + 2x + 3
問題
整式 P (x) は x − 1 で割りきれ，x2 + x + 1 で割ると 3x − 3 余る。P (x) を x3 − 1 で割ったとき
の余りを求めよ。
〔解答〕
1
整式 P (x) は x − 1 で割り切れるので P (1) = 0 · · · ⃝
P (x) を x2 + x + 1 で割ったときの商を Q(x) とおくと
P (x) = (x2 + x + 1)Q(x) + 3x − 3
2
···⃝
′
P (x) を x − 1 で割ったときの商を Q (x), 余りを
3
ax2 + bx + c (a, b, c は実数) とおくと
P (x) = (x3 − 1)Q′ (x) + ax2 + bx + c
= (x − 1)(x2 + x + 1)Q′ (x) + ax2 + bx + c
3
···⃝
1
3 より P (1) = a + b + c = 0 · · · ⃝
4
⃝,
⃝
ここで，x3 − 1 = 0 の 1 つの虚数解を ω とおくと
ω 3 = 1, ω 2 + ω + 1 = 0
2
3 に x = ω を代入して
⃝,
⃝
P (ω) = aω 2 + bω + c = 3ω − 3
⇐⇒
a(−ω − 1) + bω + c = 3ω − 3
⇐⇒
(c − a) + (b − a)ω = −3 + 3ω
c − a, b − a は実数なので
c − a = −3
b − a = 3
5
···⃝
6
···⃝
4
5
6 より a = 0, b = 3, c = −3
⃝,
⃝,
⃝
したがって，余りは 3x − 3
● N o.1 で紹介した，余り変形型で解くことも可能です。
〔別解〕
1
整式 P (x) は x − 1 で割り切れるので P (1) = 0 · · · ⃝
P (x) を x3 − 1 で割ったときの商を Q′ (x), 余りを
ax2 + bx + c (a, b, c は実数) とおくと
P (x) = (x3 − 1)Q′ (x) + ax2 + bx + c
= (x − 1)(x2 + x + 1)Q′ (x) + ax2 + bx + c
ここで，P (x) を x2 + x + 1 で割った余りが 3x − 3 であるので
ax2 + bx + c = a(x2 + x + 1) + 3x − 3
と表すことができる。
1 より · · · (以下略)
⃝

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