統計力学の場合の確率：ボルツマン因子

v
統計力学の場合の確率：
ボルツマン因子
E: エネルギー
 E 

P  C exp  
 kT 
T: 絶対温度
k: ボルツマン定数
C: 定数
特に自由に運動する気体
2

mv 
 Ek 

P  C exp  
  C exp  
 kT 
 2kT 
mv 2
Ek 
2
運動エネルギー
正規分布（ガウス分布）
次のページで指数関数の復習をします。
v
指数関数の復習
e  2.7..
ye
x
問題１
問題２
f ( x)  e

e   e
x
x
の逆関数は y  ln x
ye
x
y  ln x
x

1
ln x  
x
のグラフを書け。
のグラフを書け。
v
解答
ye
y  ln x
x
y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2
2
y
1
0
0
-1
-2
x
-3
-4
1
2
3
4
5
x
v
正規分布（ガウス分布）
問題
f ( x)  e
 x2
に関して、
(1) f (0) を求めよ。
を示せ。
f
(

x
)

f
(
x
)
(2)
(3) f ( x), f ( x) を求めよ。
(4) f (x) のグラフを書け。
v
解答
f ( x)  e
 x2
(1) f (0)  e  1
0
(2) f ( x)  e
  x 2
(3) f ( x)  2 xe
f ( x)  2e
 x2
e
 x2
 x2
  2 x  e
2
 x2
 (4 x  2)e
2
 x2
v
f ( x)  e
解答続き
(4)
f ( x)  2 xe
 x2
f ( x)  (4 x  2)e
2
 x2
 x2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
増減表
0.0
0
f
f 
f
-3
-2
-1
0
1
2
3
v
f ( x)  e
正規分布の規格化

I



f ( x)dx   e
 x2
dx
 x2
を求めたい。

ここで２次元極座標について復習する。
（高校の数学C, １年の物理）
２次元極座標
高校の数学Cの復習
質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,θ)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦θ＜2π
0
θ
x
２次元極座標の
面積要素
問題
(r,θ)にある点が、少しだけ動いて
(r+dr,θ+dθ)になった時、
右の図の緑色の面積が
x  r cos 
y  r sin 
rd
y
rdrd
にほぼ等しいことを説明しなさい。 0
d

dr
r
x
v

正規分布の規格化
I 
問1
2



e
( x 2  y 2 )
 
I  e
 x2
dx を求めたい。

dxdy
を示せ。
問2 ２次元極座標 x=rcosθ, y=rsinθを使うと、
2

I   d  e
2
0
r 2
rdr
になることを示せ。
0
問3 問２の積分を計算せよ。

問4
I  e
 x2
dx
を求めよ。

問5

I   e

 ax2
dx を求めよ。
a0
v

I  e
問１の解答
 x2
dx

変数を変えて、もう１個書くと、

I  e
 y2
dy

２つかけると、

I  e
2

x

2
dx  e

y

2
dy   e

( x 2  y 2 )
dxdy
v

I  e
問2の解答
2
x  r cos  , y  r sin  より
x 2  y 2  r 2 cos 2   sin 2    r 2
e
( x2  y 2 )
e
( x 2  y 2 )
dxdy

r 2
面積要素は以前の問題から、 rdrd
したがって、 2 
2
r 2
I   d  e rdr
0
0
v
2
問3の解答


I   d  e
2
0
e
r 2
rdr
r 2
rdr
0
を求めるには、
0
du
2
 2r
r  u と置くと、
dr


2
1
1 u
r
u
0 e rdr  2 0 e du   2 e
1
rdr  du
2
 
2

0
0
I   d  e
2
r 2

0
1
1
  0  1 
2
2
1
rdr  2  
2
v
I2 
問4の解答

I  e

 x2
dx  
v

問5の解答

I   e
I  e
 ax
2
 x2
dx  

dx

ax  u
と置くと、
1
x u
a
dx 1

du
a

1
dx  du
a
1

u 2
I 
e
du


a
a 
v

正規分布の規格化
問題



f ( x)  Ce
 ax2
e

が

 ax2

dx 
a
f ( x)  1 を満たす時、C を求めよ。
v

問の解答
f ( x)  Ce



e
 ax2

 ax2

dx 
a
f ( x)dx  1


Ce

 ax2

dx  C  e
a ax2
f ( x)  e


 ax2

dx  C
1
a
a
C

が確率になる。（積分して１）
v
分散
一般に変数xの関数A(x)の平均値は、
確率P(x)を使って、
A　  A( x)P( x)dx
問題
正規分布 P( x)  a e ax
の時の

2
x
分散
を求めなさい。
2
x  x 
2
で x 0
v
問の解答
a ax2
P( x)  e


I  x e
x
2  ax2

1 

2a a
2

  x P( x)dx 
2


dx  xe
 ax2
x
2
a




2  ax2
xe

1  ax2
e dx
 

2a  
a
1

I

2a
dx
v
別解

I0   e
 ax2


dx 
a

dI 0
d 
d 1/ 2
 3 / 2
2  ax2
  x e d x 
 
a 
a

da
da a
da
2


2  ax2
xe

x
2



 3 / 2
dx 
a
2
xe



2  ax2
dx
e ax d x

2


2
a
3 / 2

1
/

a 2a
v
ボルツマン分布
2

mv 
 Ek 

P  C exp  
  C exp  
 kT 
 2kT 
kT
2
v 
m
運動エネルギーは
mv2
kT

2
2
エネルギー等分配則
v
分配関数
 E 

P  C exp  
 kT 
温度一定の場合の
分配関数：
Z   exp  Ei 
i
ボルツマン因子の和
1

kT
問題２つのエネルギー状態 –E0, E0
を持つ系の分配関数を求めよ。
v
内部エネルギーの計算 Z   exp  Ei 
βで微分すると
Z
  Ei exp  Ei 

i
したがって
問題
E 
i
1

kT
 E exp  E 
i
i
i
 exp  E 
1 Z

Z 
i
i
前問で
Z
を求めて、<E>を求めよ。

v
ヘルムホルツの
自由エネルギー
F  E  TS
E: 内部エネルギー
T: 温度
S: エントロピー
（乱雑さ）
温度が低いと、
自由エネルギーと内部エネルギーは
ほぼ等しい。
温度が高いと、
エントロピーが高い状態の方が、
自由エネルギーが低くなる。
例：高温で気体はエントロピーの高い状態（乱雑な状態）に
なる。
v
自由エネルギーと分配関数
F  kT ln Z
Z: 分配関数

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