●母平均 μ，母分散 σ 2 の母集団から抽出した大きさ n の無作為標本を X1 ，X2 ，· · · ，Xn とする．このと
¯ に対して E[X]
¯ = μ，V [X]
¯ = σ 2 /n が成り立つことを示せ．
き，標本平均 X
（解答例）　X1 ，X2 ，· · · ，Xn は無作為標本であるから，互いに独立である．したがって，各 k ，` （k 6= `）
に対して，E[Xk X` ] = E[Xk ] E[X` ] が成り立つので，
E[(Xk − μ) (X` − μ)] = E[Xk X` − μ Xk − μ X` + μ2 ] = E[Xk ] E[X` ] − μ E[Xk ] − μ E[X` ] + μ2 = 0
が得られる．期待値の性質より
#
n
n
X
1 X
1
¯ =E
E[X]
Xk =
E[Xk ] = μ,
n
n
k=1
k=1
⎡
⎡Ã
( n
!2 ⎤
)2 ⎤
n
X
X
1
1
¯ =E ⎣
V [X]
Xk − μ ⎦ = E ⎣ 2
(Xk − μ) ⎦
n
n
k=1
k=1
⎡
⎤
n
n X
X
X
1
= 2 E ⎣ (Xk − μ)2 +
(Xk − μ) (X` − μ)⎦
n
k=1
k=1 `6=k
⎧
⎫
n
n
n X
⎬
X
1 ⎨X
1 X
σ2
= 2
E[(Xk − μ)2 ] +
E[(Xk − μ) (X` − μ)] = 2
V [Xk ] =
⎭ n
n ⎩
n
"
k=1
となる．
k=1 `6=k
k=1

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