略解と解説数学総合レポート問題 (第 12 回) 問 1 [0, L] における u = u(x) に関する境界値問題 d2 u + λ u = 0, dx2 境界値条件： du (0) = 0, u(L) = 0 dx の固有値 λ と対応する固有関数をすべて決定せよ． (解) 配布プリント（12 回）における例題と同じく λ > 0 であることがわかる．したがって u′′ + λ u = 0 の一般解は √ √ u(x) = c1 cos( λx) + c2 sin( λx) ( c1 , c2 は任意定数 ) である．この解が境界値条件を満たすように定数 λ を決める． √ √ √ √ du = −c1 λ sin( λx) + c2 λ cos( λx) であるから，境界値条件を代入すれば， dx √ du (0) = c2 λ = 0, dx √ u(L) = c1 cos( λL) = 0 を得る．前者の式より c2 = 0 であるから，後者の式で c1 = 0 ならば自明解 u(x) ≡ 0 になってし √ まう．よって， cos( λL) = 0 でなければならない．したがって， √ λL = (1 2 ) +n π ( n = 0, 1, 2, . . . ) である．これから，固有値 λ は自然数 n で整列される実数 λn = (1 2 +n )2 π 2 L2 ( n = 0, 1, 2, . . . ) である．また，λn に対応する固有関数 un (x) は un (x) = cos ある． (参考) 下図は，u0 , u1 ,u2 ,u3 のグラフである．x = 0 で u(L) = 0 より x 軸上の点 (L, 0) を通る． {( 1 ) π } +n x のスカラー倍で 2 L du (0) = 0 より傾きが 0 であり， dx u0 1 u1 0 L u2 u3 1 x 問 2 スツルム・リウビルの固有値問題において，微分演算子の自己共役性を使って，異なる固有値に対応する固有関数は直交することを証明せよ． (解) 証明は対称行列の場合と形式的に同じである．微分演算子 L が適当な内積 ⟨ · , · ⟩ に関して自己共役である： ⟨u, L[v]⟩ = ⟨L[u], v⟩ · · · · · · (∗) いま u, v はそれぞれ異なる固有値 λ, κ L[u] = λ u, ( λ ̸= κ ) に対応する固有関数とする． L[v] = κ v. これを (∗) に代入すると， ⟨u, κ v⟩ = ⟨λ u, v⟩ この式は (κ − λ) ⟨u, v⟩ = 0 と変形される．κ − λ ̸= 0 であるから ⟨u, v⟩ = 0，すなわち，u と v は直交する． 2