401
別 の章 で も触 れ て はい るが ,こ こで重 ね て流体 運動 ,運 動量 と流体 に接 す る物
体 との 力 のや り取 りに つ い て 考 えて お こ う。 ニ ュー トンの 第 2法 則 (質 量 %,
加 速 度 ″グ/″ ,力
F)か ら
解
子=F
2ル
14・
,
D
は運 動 量 変 化 ,す なわ ち,運 動 量 の 時 間変化 が 力 とな る。連 続体 で あ る
流体 の質量 を体 積 ア と密度 ρ として π=ρ
積 流量 を 0と す る と,%=ρ
7,速 度
7,そ して単位 時 間 冴
に移 動 す る体
αで 断面 積 ス を通 過 す る質 量 流量 は
2=
ρ42で あ る。
今 ,細 か い現 象 につ い て言及 せ ず に流 れ の変化 と物体 の受 け る力 の結果 を知 り
た い とき,考 えるべ き範 囲 に仮 想 の検査体積 (cOntrOl volume)を 設定 す る
.そ
して その面 を通過 して単位 時 間 ″ に流 れ込 む運動量 ―厖 n,流 れ 出す運 動量
2utと 検査体積 内 に残 る運動量 分 ″ σ
2)/務 の和 が検査体積 内 にあ る質量 にか
(ノ
かる力 ΣFで あるとする運動量 保存則 を適用す ると,式 (4・ 2)の ようになる。
'イ
4章 運 動 量 の 法 則
8θ
子(2の +庇 帆厖n=ΣΓ
隷
(4。 2)
1は琲 噴 流 の 反 力
検 査体積 の 中 に ロケ ッ トエ ンジ ンの よ うに高圧 を発 生 す る容 器 とノズ ル の
セ
ッ トが あ り,ノ ズル を通 して検 査 面 か ら外 に流体 が 噴 出す る こ とを例 に取 ろ う。
図 4・ 1に 示 す ように,容 器 内 の圧 力 が一 定 (エ ンジ ンな ら燃料 を加 えて燃焼 ガ
ス を定常 に発生 させ る,水 槽 を置 くよ うなイ メー ジの ときは容器 の直 径 が ノズ ル
よ りは るか に大 き く,観 察 して い る間 に は,水 の流 出 に よる水位 の減 少 は無視 で
Pで ,外 部 の 圧 力 を POと し よ う。非 圧 縮 性 ,非 粘
性 とした流体 が 噴 出す る と考 えて ,ベ ル メイの 定 理 か ら噴 出速 度 π を求 め る と
PO)
(4・
3)
π2=2(P―
き る程 度 で あ る とし よ う)。
,
ρ
また ,ノ ズ ル 断 面 積
4と
して 噴 出 流 量 は
出 す る運 動 量 ,す な わ ち容 器 に働 く力
Fは
z=″ 場
で あ るか ら単 位 時 間 に 流
,
F:-rnu---pAu"
(4・ 4)
で求 められ る。大気圏 を飛行す る航空機 には機体前方 か ら空気 (酸 化剤)を 吸 い
込み,燃 料 を加 えて燃焼 によって膨張 した気体 を後方 に噴出 させて推力 を得 るジ
A z失
う/´
͡͡
繭
一西 軽
2 、
④
(a)
図
4。
1
タ ンクの 中 に は常 に一 定
る簡 略 化 した ケー ス
(b)
Pの 圧 力 が保 持 され密 度
ρの流体 が外 部 の圧 力 Poに 噴 出す
4・
2噴
81
ェ ッ ト機 がある。前方 か ら流入する気体質量流量 を 21,速 度 πl,流 出す る気体
質量流量 を 解2,速 度 を z2と す ると,ま た流入する気体 の密度 と流出す る気体 の
温 度 が 異 な るので それ ぞれ密度 を ρl,ρ 2体 積 流量 を Q,α お よび 断面 積 を
41,42と する と
,
F=π 222
21π l=ρ202α 2 ρ 10121=p2■2π : ρ 141π『
(4・
5)
となる。
例題 4・
【
1】
図 4・ 2に 示すタ ンクの断面積 は下部 に取 り付 けた管 の断面積 よ り
かな り大 きい もの とし,水 の粘性 や圧縮性 は無視する。 また,タ ンク水面 と噴出口
での圧力 は大気圧 Paに 等 しい。水 の密度 は ρ″=1 000 kg/m3と す る。
m/s〕 を求めよ。
① 噴出口での噴出速度 υ〔
② おもりを持ち上げる力 F〔 N〕 を求めよ
.
υ一一
ベ
e,f
噴出口断面積
s=10 cm2
図 4・
く解 答 〉 ①
2
例題 4。 1の 図
噴 出 口での噴 出速度 υ
82
4章
ベ ル ヌイの定理
運
動
の 法 則
量
,
力
zf+″ 1+Pl==わ %`十
力
2+鳥
ω
を適 用 して=ρ
,
2+R
Л
十
″
υ
R==ρ ″
ρ
θ
O■ 十
り
∴ υ=/2θ (ffl十 力り
=y2×
10× 10≒ 14〔 m/s〕
② おもりを持ち上げる力 F
噴出 口に働 く反力 /は ,噴 出流量 0よ り
,
/=ρ ″θυ=ρ ″(Sυ )υ =ρ ″Sυ 2=ρ ″s(/2gH)2
=1000×
(10× 104)× (v2× 10× 10)2=200〔 N〕
四つの噴出 とお もりとの力の釣合 いか ら
,
F″ =4× ″
∴
F=4×
″
=
4× 200× (10×
2× 10 2
102)
=4000〔 N〕
噴流 と速度
ロケ ッ トや ジェ ッ ト航空機 は密度 の小 さいガス を噴 出 して推力 を得 てい る。噴 出
す るガスの温度 が 高 く,密 度 が低 くなって も推力 は速度 の 2乗 に比 例 す るので,速
度 の大 きいほ うが単位 時間 当 りの運動量放 出 が大 き く,大 きな推力 を得 る。航空機
の速 度 は噴 出流体 の速 度以上 にはな り得 な い ので,噴 出速度 を大 き くす る ことに利
が あ る。圧縮性流体 の取扱 い になるが ,高 圧 ガス を燃 焼室 で発生 させ ,狭 ま り末広
ノズル
(ラ
バ ル ノズル )で 音速以上 のガス流 をつ くって後 方か ら噴 出 させ る。
ロケ ッ トの速 度 を υ,噴 流 とロケ ッ トの速 度差 を ω,ロ ケ ッ トか ら見 た噴流の速
度 α とす る と,推 力 は F=ρ αω,噴 流が単位 時間 に ロケ ッ トにす る仕 事 ι は
,
ι=Fυ =p_42ω υ=p_4(α ―υ)υ
(4・ 6)
一 方,エ ンジンの した仕 事 は ″ 物 22/2で あ るか ら,Lと の比 を取 って効 率 η と
定義 す る と
,
η=7
(4・ 7)
4。
2噴
効率 の極大値 は 力 /あ =0を 求 めて,
多=2跨 ユ=0
υ=α /2と なり,噴 流速度 αの 1/2で 飛ぶのがよいとされる。
20彦 板に衝突する噴流
ノズルか ら噴出す る流れによる反動力 につ いて考 えたが, ここでは噴流 が板 に
当たって板 が力 を受 ける場合 を考 える。板 の表面での摩擦や噴流の中での速度分
布 はない もの と想定 して い る。
検 査面 を噴流軸方向 に ″,直 角 の面 に ク軸 を とる。衝突板 が奥行 き方 向 に一
様 に流れのある二 次元噴流 に対 して垂直 になって い る。衝突 した流れは,衝 突面
に沿 って左 右均等 に分流す る。噴流速度 に よって板が噴流 に押 されて速度 υで
動 いてい る。 そして噴流の面積 4と す る と,噴 流の ノズル 出 口で測 った単位時
間 に流れ出る質量流量 は ″物 である.流 れか ら板 が逃 げて い くので板 のほうか
ら見 る と単位時間当 りに板 に当た る速度 は (2-υ )と な るので,噴 流 の質量 は
ρ4(2-υ ),そ して単位時間当 りの運動量の変化 ,す なわち板が受 ける力 は F=
―
―
図 4・
3
流れを入った もの出た ものそ して外 に力
が出るように検査体積 を取 る
8イ
4章
運
動
量
の 法 則
ρス(タ ーυ)2に な る。板 が 静 上 して い る とき は υ=0と して 計 算 す る (図
4・
3参
照 )。
X検 査面 か ら出て い く運 動量 は対称 正 負 方 向で打 ち消 し合 うので 0で あ る。
檜 3隋嫉傾斜板に当たる噴流
板 に対 して θだ け傾 いて設置 されたノズルか ら速 度
%で 流れ出 る噴流の単位
時間当 りの体積流量 を oと す る。板 を ク軸 に平行 に置 くと検査面 に左 か ら流入
す る運 動量 は ″方向に F=ρ Qa sin θで あ り,板 の受 ける力 となる。
噴流 は板 の上で左右 に別れ る。板 の表面で摩擦がな く,流 体表面が拘束 されて
い なけれ ば,慣 性 で流体 の塊 は分 かれた後 も両方 向 に同 じ速 度
%で 流れ る。 そ
れぞれの方向を①② と名付 ける。流入す る運 動量 の グ方向成分 は ρQ2 cos θで
あ り,① ρolク ,② ―ρα a,
ρQ2 cos θ=ρ 01%― ρα π
(4・ 9)
また,o=ol+α
Q=壬￨(1+cOsの ,c=壬 ￨(l cOsの
図
4・
4
斜 め に流 れ が 当た る場 合
(4・
10)
4・
の流量分配 になる (図
4・
2噴
流
85
4参 照 ).
(40り 固定曲板に働くカ
曲板 の一端の接線方向か ら速度 π,流 量
Oの 噴流が流入 し,曲 板 の他端 か ら
流出す る噴流 が 角度 θ方向 に流 出す れ ば水平 ″軸 方向 に出 て い く運動量 は
一バ″ COS θである。一方,流 入する運動量 は μル であつたから,差 し引 き,
(4・ 11)
几 =ρ (レ (1-COs θ)
になる。 また,y軸 方向 には
,
Fy= ρ (ン sin
が働 くことになる (図
4・
図 4・
5参 照
5
(4012)
θ
)。
水車やタービンの羽 に当たる流れのように板
を湾曲させて考 える
(50)動 いている曲板に働くカ
ター ビンの翼 を想定 した ように,板 が速 度 υで動 い て い る とき,動 く平板 の
例 で示 したように,板 が受 ける速度 は相対速度 (露 ―υ)で ある。 そ して,曲 板 の
入 口に入 る噴流の断面積 を ス とす る と流量 は 4(z― υ)で あるか ら,鳥 ,Fyは
それぞれ
,
几 =ρ4(“ ― υ)2(1_coS θ)
(4・ 13)
86
4章
図 4・
6
運
動
量
の 法 則
動 いてい る板 は流れに対 して相対速度 を持つ こ
とに留意する
水 車
の 翼
図 4・ 7に 一 例 を示す。
図 4・
7
ジェッ トが皿のような部分 (バ ケ ッ ト)に 当たって
反動 を利用 したペル トン水車 .初 期の水車 によ く見
られるタイプである。 ジェッ トが直接バ ケ ッ トに当
た り,水 車 を高速 回転 させ て 発 電 す る.落 差 が
70∼ 100mく らいの 山間部 の発電所 において採用 さ
れている
4・
2噴
流
鳥 =ρ A(2-υ )2sin θ
とな る (図
4・
87
(4014)
6参 照 ).
照060リ ジエッ トポ ンプ,エ ジエクタ
直径 Dの 管路の中に周囲より速 い速度を持つ直径 グのジェットを噴出させる
とその運動量によって管路下流が増達 し,流 体が排出される。上流断面①のジェ
ット速度 を πO,周 囲の流速を πl,混合の終わつた後②の速度が z2で
ているとする
(図
4・
様 になっ
8参 照
)。
①から流入した運動量は
,
″+イ 瀦
A=ρ ゾ と
(4015)
②から流出する運動量は
,
F2=メ?lπ
①②の運動量の差は
(4016)
`
,
め
几―
ス=繰 ″―
の十
イ 猪―
(4017)
で求 め られ る.
エ ジェクタに管路 をつないで流体 をどれだけ高 い ところへ揚 げる ことがで きる
か
。
①を開放端にして②に垂直の管路を接続する。上記 F2 Fが ①②間で用いた
図 4・
8
管内流 よりも大きい速度のジェットを噴出すると
8θ
4章
運
動
量
の 法
則
流 体 の 慣 性
ホースか ら水 を放 出す る,ま た は,気 体 の噴流 を思 い浮 かべ よう あ る程
。
度遠 く
に ある物体 に流 れ を当 てて吹 き飛 ばす ことが で きる。掃除機 の ように吸込 みの
場合
は遠 くか ら物 体 を簡単 に吸 い込 む こ とはで きない (図
図 4・
9
4・
9参 照 )。
吸込みでは遠 くのごみは動かない
流体 は常 に圧力 の勾配 に従 って動 く。 そ して動 い てい る流体 には慣性
が あ る。管 内の流 れで一 方 向 に速 度 を持 った 流体 は管路 端 面 よ り流 出
し,同 じ方 向 に流 れ ようとす る (図 4010参 照 )。 理想流体 で はその まま
無 限遠 まで流れが あるよ うに解 釈 され るが,実 流体 で は粘性 が あ るので噴流 はほぼ
12∼ 15° の角度 で広が り次第 に速 度 は減 衰 す る。 したが って,適 当 な距 離 に あ る塵
を飛 ばす ことがで きる。 一 方 ,真 空掃除 機 で吸 い込 む場 合 には,管 路 の開 口端 と外
部 の圧 力差 に よって流体 を吸 い込 む ことに な る
.
図 4。
10 管端面か ら流出入する流体 の概念図
圧 力 は均等 に周囲 に伝 播 し,広 い範 囲 か ら流体 が 流れ込 む。 したが つて,開 口端
の ご く近傍 で な い と流体 の速度 は大 き くな い ので,離 れた ところで は ごみ を動 かす
ほ どの速度 になって いな い。掃除機 の吸込 み口で はプ ラシで埃 を巻 き上 げた り,床
面 との隙間 を小 さ くして局所的 に流体 の速 度 を大 き くして巻 き上 げ,吸 い込 む工夫
が な され て い る。
管 断面 にか か る力 なので ,圧 力
Pは
=d
,
P=玉ワ 生
(4。 18)
の よ うにな り,ま た ,
〃
=り
=÷ { (2'20+豫 ag aЭ }
(4・ 19)
で 高 さ ″ が 求 め られ る。
演習問題
口径 D=0.5mの 円形 ノズル か ら大 気 に速 度 υ=100m/sで 密度 ρ=1
kg/m3の ノズルが噴出 して い る。反力 F〔 N〕 を求めよ。
ノズル直後 に噴流が平 らな板 へ垂直 に衝突する場合 は,衝 突中心部 の圧力上昇 ∠Pは
どれ くらいか。噴流 の速度 はノズル出口の速度 と変わ らない もの とす る。
図 4011の ように 45° 傾 いた水平方向か ら 21=30m/sで 1秒 間 に 5 kgの
図
4・
11
問題
4・
2の 図
4章
運
動
の 法 則
量
質量 の水が噴流 として,衝 突す る。板 を支 えるための力 Fお よび② ,③ 方向の流量 を
求めよ
.
呻
図 4・ 12の ように曲板 を持 った台車が速度 υ=30m/sで 左右方向へ動 い
ている。噴流の断面積 4=03m2,噴 流の速度
7=10m/sで 曲板 に水平方向 よ り当た
る。流れは θ=45° の角度 を持 って上 方 に流 出す る.台 車 の受 ける力 を求 め よ.水 の密
度 ρ=1 000 kg/m3と す る。
図 4・
呻
12 問題 4・ 3の 図
沼地 を走 る船 はス ク リュー を回 しに くい ので,プ ロペ ラ船 が 多 く使 わ れ
てい る。図 4・ 13に 示 す よ うに,プ ロペ ラか ら出 る気流 の直 径 は 2m,速 度 はボー トに
対 して 100 km/hで あ る。 ボー トが 30 km/hで 走 って い る とき,推 進 力 を求 め よ.空
気 の密度 ρ=1.2kg/m3と す る。
シュラウ ド
図 4。
13
問題
4・
4の 図
―
9■
図 4・ 14の よ うな帆前 船 の後 方 か ら
7=35 km/hの
風 が追 って い る。船
の速 度 υ=20 km/hと す る。風 の流 れ は上 か ら見 た よ うにな り,横 か ら見 た風 は二 次
元 的 に流れ,帆 の上 を越 えた りしな い とすれ ば,船 を動 か して い る力 を計算 せ よ
力 が船 の抵抗 と釣 り合 って い る ことにな る)。
(r
図 4。
14 問題 4・ 5の 図
E\sssn/h
(こ
の
92
4章
運
動
量
の 法 則
策ロ
解
ヽ
ミ
″
″ 舞
ミ
ミ
離多
霧
菫
漂
鷺 1'ヽ ミ
ミ輩
′
″
ミ
ミ1疹
t磁
,ヽ ￨夕
“
問題 4・ 1
励
F=4μ ttΨ
同 ×Ц 地 価 句×Ю気が
M
=196〔 kN〕
板中心部の圧力は,全 運動エネルギーが圧力 に変わったとすれば
,
2==×
∠
P==ρ α
問題 4・ 2
1〔
kg/m句
×
104〔 m2/s2〕
二kN/m句
5〔
=∽ =軌 .流 量 は異 な る
本 文板 に沿 って 流 出す る速 度 は同 じ
の厚 さが変 わ る).
=5〔 kPJ
“
流量 は質量 で与 え られ てい るので ″ で表 す と
,
あ=うJ4(1+COs 45つ
==× 5回 ×十
←券)=な る回g
,
処 =:Z。 一cOs
==× 5性
45°
)
巧駄
』×
動
←券 ∝
)二
板 の方向 に速 度成分 は γlsin θ
.
Fl=ジ ,4α lsin θ
板 を押 す方向 は
F=■4ク l
sin2
F=5〔 kg/s〕
問題 4・ 3
題 意 の式
θ
×
30〔 m/s〕
(4・
13)
×
N〕
==75〔
Fl=ρ 4(υ -7)2(1_cos θ)
=1000〔 kg/m3〕 ×0.3〔 m3〕 ×(30-10)2〔 m2/s2〕 (1_0.7)
=36〔 kN〕
(液 膜
93
答
解
問題 4・ 4
F=〆
N〕
2=1.2は g/m句 ×主 壁 竺 〔
m/S〕
m句 ×
(響 缶 辛 〔 )2=1418は
υ
ちなみに,出 力単位 時間当 りの仕事
,
・
Pは 船速度 を
ア として,
P=Fy=1_418〔 kN〕 ×30000/3600〔 mノ =11.8〔 kW〕
てか ら流出す る流
問題 5 後方か らの速度 7,前 方への船の速度 υ,帆 に当たっ
れの角度 θ=45° ,面 積 41=3〔 m〕 ×5〔 m〕 を通過す る流出流量 Qは
s〕
4・
,
01=41(7-υ
)
船 の進行方向へ及 ぼす片方 のジェ ットの力 Flは
Fl=ρ 41(7-υ )(7-υ )(1+COs θ)
,
流れ は左右同 じ大 きさ対称 なので,左 右 2本 の流れの船進行方向成分
F=2Fl=2ρ Al(7-υ )2(1+coS θ)
2X12は ノdX3X5同 ×
(
=1.062〔 kN〕
)資
は 2倍
mつ
.
94
4章
運
動
量
の 法
則
巫
水の粘性係数・ 動粘性係数 (圧 力 P=lolkPaに おける
値)
温度 ′
/〔
°
C〕
粘性係数 μ/〔 lo
動粘性係数 ν
/〔 lo 6m2s l〕
密度 ρ/〔 kgm 3〕
1 792
1 792
1 307
1 307
9998
9997
9982
9957
9923
9902
3Pa°
S〕
０
０
１
０
２
０
３
０
４
０
５
1 002
1 0038
0 797
0 801
0 653
0 658
０
６
０
７
０
８
０
９
０
０
0 548
0 554
0 467
0 475
9881
0 404
0 413
0 355
0 365
9778
9718
9653
9584
0 315
0 326
0 282
0 295
空気の粘性係数・ 動粘性係数 (圧 力 P=lolkPaに おける
値)
温度 ′
/〔
°
c〕
μ/〔 10
ν/(106m2Sl〕
ρ/〔 kgm 3〕
17 08
13 22
1 293
17 58
14 10
1 247
18 07
1501
1 205
1 165
6Pa・
s〕
０
０
１
０
２
０
３
15 93
16 89
19 49
17 86
19 95
18 85
０
４
18 55
19 03
０
５
０
６
０
７
19 86
20 89
21 30
21 94
21 73
23 0
０
８
20 41
20 86
空気の密度計算式
ρ〒百
面
０
９
′:〔 °
C〕
０
０
０
０
25 7
０
０
35 5
水の飽和蒸気圧
′°
/〔 C〕
P:× lol kPa
音速 α/〔 ms l)
0 012
0 023
0 307
水
C
エ チル アル コー ル
1404
C
50° C
1485
1544
1240
1168
1067
0°
20°
而
・
誌
P:〔 Pa〕
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