Muroran-IT Academic Resources Archive Title Author(s) Citation Issue Date URL Heaviside演算子の変定数回路に対する応用山上, 孝; 三浦, 五郎; 伊達, 隆三室蘭工業大学研究報告. Vol.2 No.1, pp.29-37, 1955 1955-12-20 http://hdl.handle.net/10258/3055 Rights Type Journal Article See also Muroran-IT Academic Resources Archive Copyright Policy Muroran Institute of Technology H e a v i s i d e演算子の変定数回路に対する応用山上孝三浦五郎伊達隆三 An A p p l i c a t i o no f Heaviside Operators t o Variable . . c o n s t a n tC i r c u i t Problem ，G o r oM i u r aandRyuzoD a t e T a k a s h iYamagami Abstract Thep a p e rt r e a t sad i f f e r e n t i a le 司u a t i o no faL， Cs e r i e sc i r c u i to fwhichL o l l o w i n gf o r m . makesp e r i o d i c a lv a r i a t i o nwitht i m e . Thise q u a t i o nhast h日 f ( 五法 L川 ω ) y=z ∞s2(οt十伊，例<1 g h b o ro f Y=0 by t h ep a r t i a l Making Maclaurin Expansion i nt h e n巴i d i f f e r e n t i a t i o n ，and applying Heviside's Expansion Theorem t oeachterm ，a 巴巴= ! u a t i o ncanb eo b t a i n e da Si nth~ f o l l o w i n gf o r m u l a . s t r i c ts o l u t i o no fth =午竺L(空zt}ω吃(t十伊) ，戸。 n ! " δ' y " Jb~。 (一 o " i Thep r o c e d u r ef o rg e t t i n ge v a J u a t i o no f ( 一一¥ 1 ¥δy勾ん=。】 I緒 i sd i s c u s s e di nd e t a i l . 言電気回路の解析にあたり，吾々は多くの定係数微分方程式に遭遇するが，実際にはそうでない場合も少くない。例えば回路が週期的に変化するもの，あるいは非線型のものなどはこれに i l lの微分方程式1 に帰差せしめられるのである。本報は週明的変化属しこれ等の多くは H の回路要素を有する一変定数回路の解析に資せんとするべく，凸極同期機が無負荷の長距離送電線に按続される場合に，惹起された不平衡故障の際に現われる微分方程式の，厳密解を取り扱ったものである O この場合・般に数値計算を除いては厳密な解析的解は出し得ないのである O 平衡故障を起した場企のこの問題については，すで、に筆者の一人が幾多にわたり発表した。しかし不平衡故障の場合は本報告別頁にある如く，ある判定の近似のもとで L a p l a c e変換を行った近似解を求 1 E .T .Whittaker& G .N .Watson:A Courseo fModernA n a l y s i . s ， P.406 (29) 30 ヨ三・三浦五郎・伊達 l 盗三山ヒめる方法以外には，本報告を除いては数学的取り扱いはまず不可能ではないかと考える。工学的見地より眺めて s 結果が解析解であることはもちろんのことであり，実際の計算を行う場合を考え級数で表現した方が男子都合で、ある O すなわち抵抗が r ，インダクテプ・リアクタンスが A十B c o s 2 ( i十伊)，キヤシテブ・リア E eosin(t十タ〉を印 ) 7 日した場合の，クタンスがめのごとき直列共振回路に，正弦波交番電 E 一般解は普通は求めることができない。(単位法を探用して ω=1 とおく〉キヤパシタンスが無い場合は近似的に解は求まる 02， 3 キヤパシタンスがある場合でも，その p a r t i c u l a rs o l - ution については二階の常微分方程式である故，無限級数の形として導出されることは I 切らかである。これについてはすでに別頁に発表した 04 しかるに筆者等はまず抵抗 f が零の，いわゆる非減衰共振回路の場合について， H eaviside 誤算子詰を巧みに応用することによって，この一般解を一挙に導くことができた。ここに報告するのはその結果である。抵抗をも考慮した場合の式は一層複雑するため，いまだ結果を得て居らず倹討中であるが，多分この場合も同ーの演算により解き得るものと思惟する O 得た結果はただし，相当に複雑であってこれより簡単な物理的解釈を得ることは到底困難である。しかしかような解析が未着手のま L今日まで放置されていたことより鑑み，一般解導出にともあれ光明を見たことは，今後の研究に資する処ありと考察し発表した次第で、あるの日変定数微分方程式の取リ扱い既述のごとく変定数インダクタンスとキヤパシタンスならびに祇抗の直列回路について 4 〈 c o s 2 B ) i I xdd t=e . s i n ( } d tVA -十 'B ------/ '+ ，J r i十 (1) ()=t十字9 のごとき微分方程式が成立する。問、辺を一度 tで微分してさらに B A -=Z，のごとくおく o Z f A ニ R . . ，， Xc A ニ C， θ e A =e (2) はイングクグンス不変化分に対する変化?娠幅の割合を表わすもので，電気回路においてはこの値は 1より小さし、。 f z iく 1 (3) 一三ーサのごとく書き表わせば(1)式は 2 三浦五郎:2ラ回連大宮-27 ( 昭2 6年日汀) 1 三1 市五郎，秋山伺:東京支部連大宮ー2 0 (昭 2 6 年1 1J) ' 1 ' . : 浦 : Ji 日 1，~jjL 孝 Laplace 変般による一変定数回路の解 JJr，木研究 l'iH'r (30) 2，P.15 ( 1 9弓り 3 1 H e a v i s i d e演算子の変定数回路に対する応汗j { ρ '(1十 zcos2e)十ρR十c } i= = e C 0 S e (4) となる O また R==O とする時は (5) { ρ '(1十 zcos2e)十c } i= = e c o s e (4) または (5) 式を普通の形に表わすには ρ 2 などを小括弧の右に持ち来らせばであるのよく P 'zcos2e= =zcos2e・ 1 ゲ4zsin2e・ ρ-4zcos2e となることに注意して書き表せば (4)式は ( ( 1十z c o s 2 e ) ρ 2十(R-4zsiη2 ( 1 ) ρ十( c 4 z c o s 2 e ) ) iニ ecose すなわち R一凶n2e ( グ十寸刀両' l e - c 4 z c o s 2 θ 1 ρ十寸子云伝説 j z = ] 十 ω526 (6〉となる。各係数は Oについてそれぞれ次のごとく Fourier級数に展開できる。 5 r1 2 1両両f U I J 「 L7 十 i n 2 θ 耳扇面28= = 1+ 可 2 5 1 〈-WCodyo 」 ∞ 寸 72-l川コ ∞ r z ∞ 子 . v I = z ' ア L-21-fIY1brzCodyoj 0 3 2 θ 2 百三両2 6 1= = 三でてI v l b 一一 (3) 式より 1 T 平三一一 vI 三云一 v l二j-z十 vl-二三一一一一 I z lく1 である。 (6)式より明らかなごとくもし Rニ4 z s i n 2 6 1 という条内:が仮りにあれば，該式は H i l l の微分方程式ぷ十 (θo十 2争c o s 2 v l ) xO ニの θ。ニ O の場合に相当する。~[Jち (6) 式は H i1lの微介方程式の一般的な形となっている。さてこの様に復雑な恰好にしたのでは到底解けないから， (6) 式ではなく (5) 式をその能解こうとするのである。すなわちいま y=zcos28 (7) と;J品、て (5)式を 5 Bromwich:AnI n t r o d u c t i o nt o、 1 'h 日臼 r yo fI n f i n i t eS e r i e s ，P.186 (31) 白川 MH _ 1 : 五孝ア ¥J ， 1 3 2 伊達隆 (8) {ρ'(l+y)十 c } i=ecose とする。もちろん y は t の函数であって t 'yキy ρ 2 なることは明らかである。 (3)式より判る通り f y jく 1であり，上式を y で偏微分した場合の導函数は一価連続であることより， (8)式の iを yニ Oの近傍において Maclaurin展開でができるはずである。 -ih ibif--f+刊行 i=io十十一 ∞ 十 8 (9) ただし九は (8) 式で，y=o とおいて求めた電流演算子解であり ( T '十 c)i0=e c o s ( ) e n 一一 ← 一一ー ← 一一 C03σ ρ 2 十 c 0- i Jは --~~ (8) 式を y で偏徴分した結果に y=o とおいて，得られた zに上の九を代入し演算子解を行ったもので川 ρ2山〉十 c)3 ρ 。二 O ρ2iO+Ct2十 c) io '= ; I "0 ρ， ; _(δi ¥ ' 一一 -¥.一両ん = 0 C-1)1!t' _~~~Ll Þ' 有一日匂 2干c)'~ωw i u " は同様 y で 2度偏微分した結果に，y=oおよび i Jを代入 Lて求まり号ザ号十 {T'(l y)+} c手=0 ρ 2 斗 2 ρ2 io 'ト( ρ 2十 c ) i0 'I O 二二 t o f一片山 = - V -z-Jー (-1)22!p二…d . ¥o y ') も= 0 P'+c"O ー〔ρ 2十 C ) 3 ~~~V 同様に i 0 '1/ー/豆!と¥ー(-1)匂 e …d ¥ . δ' y 3ん=。一ーマ戸平可γ ーむしり。一般に =ユヨどn!t ; ，~VU) ー (_Gl1 i ¥ u υ ¥ δ， yn， )= 0 2n (ρ2 十 c)叫 1 … d … ~VV ( 1 0 ) である。 ( 10)式の 4 股解を得れば，その集合である (9)式が表現され解が得られる訳である O 以下(10)式の演算解を導出せんとするが，見る通りかなり復雑な過程であり到底簡潔な結果で、はないが，之もあれ変定数インダクタンス回路の非減衰共振回路の過渡電流はかくも複雑とな lーは i=Oにて電流及び7 E荷が無L るのである O 初胡条 j (32) d i ~ q = 7 1 U である。向内ぺU Heavisid己決算子の変定数回路に対する応Jlj が，これは H e a v i s i c l e演算子の解中に自説的に合まれるため， 1 i l J等の考慮の必要はない。国変定数回踏め演算子解 ( 1 0 )式の演算子解は次の様にして解き得る。。 =t十伊 C二 : ¥ ，2 とおけば i ，，( n )= _i 三日笠) ! fL.62 竺竺?ーが恒竺 υ ー ( ρ 2十 : ¥ ，2 ' 1+1 ρ 2 十1 2 ーよ三日竺主主ぐ戸竺十竺叩タ三空竺¥;i竺' l ! 一 ( β 十jλ)叫' ( p _ j λ〉叫' ( ρ +j)(P-j) (11) (11)式は 1 λ 及び -Jλ のそれぞれ均十 1草根と jおよび -jの単岐を有している。さて 2種の重根を有する場合の展開定理は公式集より次のごとく与えられる 06 . M ， P) . M ( 争) 一画面j -( P 三五京正面N，め ( - 1 M 011ぷ . M 、 ι) "t;， t 1 ド3(ρAーか Y(pn-ρ2)' ーか N/(似し一一一一一一一一一・一一一 (-P， Y(-P2Y -N， ~O) ， l 1 「a - 1 J 1 1 M 、 ρ; ' _ ctf ~ (示二1)!L神 n Lp'T j i 三瓦 y ・7V， ( 五了C J _ I ρニム十 y : 1 " ， 1 !~~~， ~Lp :. -(-~ ] _ t~l_ ( s l)!Lδ ρ . ( 戸二五7 • 一戸旦♂ Nz匂) C ρ= T 2 h ， = t ( 1 2 ) ただしかz (η=3，4，……・・， m) は N，ゆ )=0 の恨の￨ル ( 一川 ! 均一 ( 12 ) 式によって (11) 式を展開すれば … inp) .M ( O )ニ 0 ， . M ( j )= - n Lej; p I N， (p) ご f ト1j)J N， ' ( j ) 2 j ， N， ' (-j )=-2j 二を用いて次のごとくなる。 i O(n) ーとl)~士JF11. 勺竺十乙川j 一 (l一入勺叫 1 I 0 " (ρ 2 1 叶 2 C O S伊一 ρ 2 1 1 8 i1'1伊 ; ， . 1 ' ~L (少十j し: フ λ ) ' 1 1 + 1 十 (-]Ye! 6 屯気工学ハンドプツク， P.186 (33) ; : : p t "./， ¥ ， .-~-t!A (合十 j )( P j ) )J戸ニバ十 Co ηj J : ; 4 1 I 1 上 i i l l 孝・三ただし M( ρアは M匂〉の共報値を表わし ] [ ‘ P l 5 ・伊達隆三 Conj とはその直前の頃の共朝値を表わすことにする。さて L e i b n i t z の定理より函数の積の高次導員数は n (UV) Cfl)= 22"CrU(γ)v(n-r) ( 1 3 ) 1 = 0 であるから，これを用いて i o(n) のと「L ρに閣する n 次導函数 ←δ δ ρ ]を展開する。均 i 0(的ニ一一竺1 311COS(t十タ〉 ( : ¥ ，2-1)' 十刊 ( ι 叫えぷベ白イ { ( 可 3 芯 4 早 i 詰示エ: Z 古払己汁 7γ y j 昨ヘ附ヘ〕 ¥ . 例叶 ρ q … . (14) ここで〉う n-q ε ( [)(n-r ニ竺ー ε pt= =rn-qε pt δ ρ l ) J ! n-(i であり，一方中括弧の内部の q 次導函数(仮にこれを F としよう)につし、ては， (x>O) 、、 lfthlpノ 1ノ、一ゆ一づ hP 干司︾一〆{¥ 2 ρ，一 F AY 一一，h y 翌町¥ 川一 J λ ↑ 一・、一 q J 一/{¥ f11L F f一計であるから z ph f一 f dd 一 ( 1 3 ) 式の応矧により分離する。一般に q [ . 1 ( 「 γ) ( =22ιip2n+1COS少一円仰 ; r O L j い J品 JJ少 . d p ' . ; エ乙ι ニ =0 1 " ~j (-p~T----ιγ)}ω 般に x -n 一一瓦子 = d 1 ¥ d x r( ヲ~)=( 1 ) γ rP， r I 叶 1 -X-何十γ ) およびニ γ ( t ， (7-'){ A i U 叫8 叶叶山 HIP 、 f 。ベマ臼ド} ここでも 1 一 ← 一一¥ " ト一一一 L ( ρ 十j λ)n+l(ρ十j)( ρ-j) J 二 1 ) x I a二 (-1)' γ ! (x十 a ) " + 1 (34) (ρ0) 前向様 H e a v i s i d e演算乎の変定数回路に対する応用 3 : ' : であることを利用して展開すればエエよ・C ・附 _;P'I'_; (一一 q r F== s γ 7 2 ・ι Osニ 0 1 2 j .• 1 J 1 1 L .---ci干河日'l 王両y + i- ζ わ jY+1-f・ ρ - Q十γ { 山村 ' 2 . / o Pq-φCOS 伊 - 2nP ， p'Si n< p} ρj λ 上記の F を ( 1 4 ) 式に代入して月 n~ ， 1 ) '・ s !・ O 二の注入を行う。かつ η ! ( n r ) ! r ! - j 'ニ 1 に注意して運算すると n ! 2 i o ( 7 0 - ic o s t j パ一(入'-1)叶 q I-eλλ υ r A U q + i ， --l ぐη 十 r -s)! 主ρ π 2+r-8十一ヲ;!(十 f〉 ! ケ -s)! ・一一 ( 1 l 寸i¥， l)"" 2 1 )叶 1 京子T 1 Ln f f q・(-1) 叶 γ ・j n -q+ 引 {' + l P ' I _ r ( j入)COScp-2nP， _ ，. s i n ψ}十 Conj n ! 2 11 -C OSI 1 ( i ¥ ，2_1)n+1 ~~~~ n q y r ( 2 1 卜r -s)! 1 f L一一 2 ; 2 ;2 ; (-1) 0 - =0 S = o 十e qニ一九十 1 ' 〔 n-qJヘq -r)!(r-s)! ニ y - 1 c ; ¥ = t 1 ， ¥ in q + 5 1 一一一 ' S + 1 2n- } 一一一一一一一一一1) 、，一 { ( ， ¥ i_1 1 iT-; + 1 -r 〔 λ 1 y+ 1 ( λ十 1 ) " + 1 [- ε 2 . ' + l P ' j _， . s i叩・ 1門 c ( 1 5 ) 式の J = ε jAtー( _l)n-qE-jAt l ( 15) )の内部は n-q が偶数か奇数かによって，符号が異るが-般に I(-1)ーす n q - ; ) y η r 2 P，，_r ， ¥ iCOSC j J' j n q 抑J 凡A 刈t 叫十入刊 ( つ一す一一円る「川一可 q e -一一 2叫 11H 山+刊 1P，九qω-，ム 7λ ì\，c 凶 CωOS~ψ1ρ'). 川 J n~q • 一一一一一 J 1 Cn-qが偶数の吋) ~ 一て一(-]) l ] 一 Cn-qが奇数の時〕であるから，これより大括弧の内部は ( 3 5 ) : J 6 山上孝・三浦五郎・伊達際三〔一山 +lP " ) 入c os伊・ (-1) CcosM十凶 P c _， s i n c p・(-1)一三LsinM〕 ( T Z が偶数) + 1 n _ f l _ l s i n : ¥ t十山 P， _ ; . s i n r p・(-1)-2 -COS:¥i J (nが奇数) ' l l ' 1 〔一山 + l P Q _. ， : ¥ C O S伊・(-l)，となる。したがって n-q の奇数，偶数の如何を問わずこれはいf い +lPQ_，:I¥.CO印 7t - -¥ {，. ~ . ，・ s i n ¥ : ¥ t十・・ ( ，十一 ; -n--q)一日 P q _， . s i n ψ COS n- ¥I i-n-q)J のごとく表わされるのしたがって(15) 式に代入して， i o ( n ) は次の様になるのである。 n ! 3 i o (叫一一一 ost J o ( : ¥ " _ 1 ) 7 1 + 1ー c ~~VV /l 十 ; . 6 5 。至。，主。〈一 F口(マ4 r ~ ~ì 1" n + r l (n 斗 r-s~! 1 ) n + 1 - 一万戸( i ) ! ( q 1 " 一 { ，"+(/Pλ cos伊 C COS( : ¥ f十 N 一的 ! 日y-. (Jjs+1)trq. ] n = -q _ )-2nPq_?'Si: n<pS州→両)}( 1 6 ) 数式の物理的意義と結言放に題意のごとき変定数回路を流れる電流は (9)式より ∞ バ乙・(する) i : : : :2 :一一 ; n=O ・ . . ∞ ~n = 2 2; f i 。 ωcos'2) =0 ， . ( 17) r t のごとく算出された訳であって，これは (8)式の厳密解で、ある。 (3) 式に表わした通り I zl <1 であるから I z l の値如何によっては， iの収は甚速になったり緩慢になったりする。普通の場合は通常 n=3位までで，充分の精度があろうと推察され -噌に般 I品丹、し ¥3 ノ '十寸一 Q マ S N E が掛川貯な∞∞ 刀/ ーノ m m F l u ω c o s ' 2 8ニー﹀﹂/{¥/{¥ ザ出可白 r 1 42 五一 1 4逼の一一一一一一 βv PLPL AV1 J'q/] 05 CGC 山つE 2 8 、ノ民 W代げ λ γ z f 級る。 i ( 吋川c叫イ 3 ) cos'2θ ニ ] 1~6 (cosl0θ-15ws68十 10cos28) で無限の偶数高周波から成り立つが， (17)式は(16 )式が乗ずるのであり，しかも(16 )式 (36) H e a v i s i d e演算子の変定数回路に対する応用 3 7 n の;国からなっては必見わかるごとく c o s 8なる基本波と，他は M で変化する正弦函数と t いる。したがって c os8の項は偶数高調波との積により，無限の奇数高調波を発生することが判る。一方 M および n の項はこれに無限偶数調波を乗じた形となる。 t 1 6 ) 式の第1:頃は祇 j 充分によって減哀しない頃であってもし回路祇抗分を考慮する時は， ( 項は抵抗分によって定まるある減衰率で減哀しついに消去する項である。定常電流となり，第2 いま第 1項だけを求めてみるとエ (νZー z ， =e 叫 C050・ C O S η 2 8 ( 18 ) 1 ) η + 1 =0 実際の計算を行うには ( 1 6 ) 式に n=O ， 1，2，……などの数値を代入した結果を用し、るの 16) であって，いくらでも精密な結果を得るこ之ができる訳である。しかし実際問題として， ( 式の計算はそれ程容易でもな L、。試みに n=O ，1， 2 の結果を示すと次のごと<;なるのマピcos8 cos C)S f + ; s M M ) i o 一 ' 1 入 1 ¥ ~..(À ( n to '==一一一~~cos8-cos '7 C) 品f 十(ー十一 )sìn少si JlÀt ( A ' l ) " t~~UV ~~~'T~~~". ' " 2T 2A ) ι「十寸 t(-;cominM-;sinpc叫 ~ ~ ，( f o / / =一一一一，) -3 --i 2cos8-2cos ψ C J s t+( ( ν _ 1 o J ' j ' ' ' ' . J oA (n n l.....'-'v~v ， t . . H . ，" V ， JI'-'V I¥ } t →3 λ 3 ¥ A3 一 l ) 4 T 2 r--A~ 4λ/ 十万台ァ，-i{(守一子)∞叩Sl抗日(与一~)山タω吋 ~、 2 、、十寸子ミァーペす-∞ sψcoskt-lsimsinMJ これらの級数は普通凸極機の計算で行う様な F ourier級数ではないため一見変った表現に見える O ともあれ変定数回路の解析に一方法として提示したまでであって，これより高調波共振の周波数やインピーダンス，コンデンサの南端子間尖頭電庄値について，同様な方法によって推察することが今後に残された問題となろう。 (昭和 30年 5月 27日受理〉 ( 37)