日日の演習 d e f a b 2²13 半径 1 の 2 つの球 S 1 と S2 が 1 点で接して

日日の演習 d e f a b
sSSH 課題探究 r
ここで，R =
2² 13 半径 1 の 2 つの球 S1 と S2 が 1 点で接している。互いに
重なる部分のない等しい半径を持つ n 個 (n ¸ 3) の球
T1 ，T2 ，Ý，Tn があり，次の条件 (A)，(B) を満たす。
C
(1 + rn )2 ¡ 12 =
C
2rn + rn 2
また，最初の図を左側から見て，2 つの球 S1 ，S2 に接し
ている n 個の球 T1 ，T2 ，Ý，Tn ，T1 がある円の周りを一
周にわたり接しているから，それらの中心，t1 ，t2 ，Ý，tn ，
t1 の配置は下図のようになると考えられる。
(A) Ti は S1 ，S2 にそれぞれ 1 点で接している。
(i = 1，2，Ý，n)
t1
tn
(B) Ti は Ti+1 に 1 点で接しており (i = 1，2，Ý，
t3
n ¡ 1)，そして Tn は T1 に 1 点で接している。
Ñ
T1 ，T2 ，Ý，Tn の共通の半径 rn を求めよ。
Ò
S1 と S2 の中心を結ぶ直線の周りに T1 を回転し
てできる回転体の体積を Vn とし T1 ，T2 ，Ý，Tn の体積
Wn
を求めよ。
の和を Wn とするとき，極限 lim
n!1 Vn
R 内藤武士君のレポートより
t2
R
O
2¼
n
また，tn t1 = 2rn だから，
O
Ñ
球 S1 ，S2 の中心を A1 ，A2 とする。
2¼
n
R
R
Ti
ti
t1
rn
4Ot1 t2 において，余弦定理より，
1
1
A1
(t1 tn )2 = R2 + R2 ¡ 2R ¢ R cos
A2
= 2R2 #1 ¡ cos2
O
S1
tn
2rn
S2
2¼
n
2¼
;
n
= 2(2rn + rn 2 ) #1 ¡ cos
2¼
;
n
2¼
Ú 4rn 2 = 2(2rn + rn 2 ) #1 ¡ cos n ;
rn > 0 より，
上図のように，S1 ，S2 の接点を O，球 Ti の中心を ti と
すると,
A1
1
2¼
1 ¡ cos n
Ú rn = 2 ¢
2¼
1 + cos
n
1 + rn
O
2¼
;
n
2¼
2¼
Ú #1 + cos n ; rn = 2 #1 ¡ cos n ;
ti
R
2rn = (2 + rn ) #1 ¡ cos
1
A2
Ò
Vn は，次図の円板を x 軸の周りに回転した立体の
体積である。
日日の演習 d e f a b
y
Ú Vn = 2¼2 Rr2
一方，Si の体積は，
t1
A1
A2
¡1 ¡rn
rn
O
4
¼r3
3
で，それが n 個あるので，
4
Wn =
n¼r3
3
4
¼r3 n
Wn
3
=
Ú Vn
2¼2 Rr2
B2nR
=
3¼ r2 + 2r
1
x
この円板は，y 軸対称なので，x ¸ 0 の部分のみを考
える。
B
(Û R = r2 + 2r)
y
=
y1 上側
t1
O
=
y2 下側
x
rn
点 t1 (0; R) より，
円：x2 + (y ¡ R)2 = rn 2
C
Ú y = R § rn 2 ¡ x2
C
y1 = R + rn 2 ¡ x2
C
Ú V
y2 = R ¡ rn 2 ¡ x2
よって，
Z rn
Vn
=
(¼y1 2 ¡ ¼y2 2 ) dx
2
0
ここで，rn = r とおく。
Zr
C
C
Vn
#(R + r2 ¡ x2 )2 ¡ (R ¡ r2 ¡ x2 ); dx
=¼
2
0
Z
r
B
4R r2 ¡ x2 dx
0
Z rB
= 4R¼
r2 ¡ x2 dx
=¼
sin2 t
=1
t2
t!0
1
1
lim
=
2
t!0 (1 + cos t)
Vn
2
dx
= r cos µ
dµ
x
0 !
µ
0 !
Z
= 4R¼
Z
= 4Rr2 ¼
0
¼
2
0
Z
= 4Rr ¼
2
0
に注意して，
r
¼
2
¼
2
¼
2
に注意する。
p
p
2 ¢ 2¼ 1 ¡ cos t
=
3¼ ¢ t
p F
2 2
1 ¡ cos t
=
3
t2
G
p
2 2
sin2 t
=
2
3
t (1 + cos t)
lim
x = r sin µ とおく。
1 + cos 2¼
n
3¼
1+
2¼
1 ¡ cos n
H 2n
=
2
3¼
1 ¡ cos 2¼
n
E
p
2¼
2n 1 ¡ cos n
=
3¼
2¼
ここで，
n = t とおくと，
n ! 1 Ñ t ! +0
また，
0
E 2n
2
3¼ 1 +
r
2n
J
C
r 1 ¡ sin2 µ ¢ r cos µ dµ
cos2 µ dµ
p G
Wn
2 2
sin2 t
lim
= lim
2
n!1 Vn
3
t (1 + cos t)
t!+0
F
p
2 2
1
=
¢
3
2
=
1 + cos 2µ
dµ
2
¼
sin 2µ 2
—
= 2Rr2 ¼ µ +
2
0
¼
2
4
= 2Rr ¼ ¢
2
= Rr2 ¼2
2
3
q 空間で，2 つの球 S1 ，S2 に n 個の球が条件のように接して
いる状態を頭に描けるかがポイントである。
2¼
1 ¡ cos
n
¼
= 2 tan2 n と変形すると，後半の計
rn = 2 ¢
2¼
1 + cos n
算部分が変わってくる。試してみたい。

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