解析か代数か−物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式

解析か代数か−物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式
上野孝司
2016 年 10 月 2 日
概要
解析か代数か−物理数学の第一歩、ルジャンドルの多項式
1．個性的な多項式
√ √
無数に存在する数のなかで、ひときわ目立つ数がある。 2,
3 などの単純な無理数や π や e（自然対数の
底、ネイピア数）などの超越数が特色ある数として広く知られている。数学を研究するうえで、なくてはなら
ない数である。これと同じく読者は特色ある数のように多項式のなかで個性的で興味あるものがあるだろう
か。私はこのような問題提起に対して、すかさず“ルジャンドル（Legendre) の多項式”をあげる。これは、
Pn (x) =
]
1 dn [ 2
(x − 1)n
2n n! dxn
で示される n 次元の多項式である。筆者がはじめてこの多項式に触れたのは、高木貞治の「解析概論」のな
かであったが、後にまったく同じ多項式が線形代数学のなかでも顔を現わしたのである。果たして解析の問題
か、それとも代数の問題なのか？
なんとも腑に落ちないが、現在では直交関数系として、物理数学の入門の
第一歩としての地歩を築き上げている魅惑的な多項式の物語である。
2．解析的アプローチ
以下の問題を考える。
【問題】f (x), g(x) を実数係数の多項式とする。任̇意̇の（n − 1) 次以下の多項式 g について、
∫
1
−1
fn (x)g(x)dx = 0 · · · · · · ( Ａ )
となる n 次多項式を求めよ。
[解] まず、問題を具体的にとらえるために素朴な計算によって、f1 , f2 , f3 を求めてみよう。fn (x) が ( Ａ )
を満たすとき、任意の k ∈ R に対して kfn (x) も ( Ａ）を満たすことは明らかであるから、以下では、fn (x)
の主係数（xn の係数）を１と考える。
f1 : f1 (x) = x + a とおくと（Ａ）より、f1 は、
∫ 1
(x + a)dx = 0 であるから、
[
]1
∫−1
1
1 2
(x + a)dx =
= a − a(−1) = 2a = 0
x + ax
2
−1
−1
1
より、a = 0
よって、
f1 (x) = x
f2 : f2 (x) = x2 + ax + b とおく。
まず、g = 1 とおき、
[
]1
1 3
(x + ax + b)dx =
(x + b)dx =
x + bx
3
−1
−1
−1
1
= 2( + b) = 0
3
1
∴b=−
3
次に、g = x とおき、
∫
1
(x2 + ax + b)xdx = 0
−1
[
]1
∫ 1
1 3
2
(x3 + ax2 + bx)dx =
左辺 =
ax
= a=0
3
3
−1
−1
より、a = 0
1
よって、f2 (x) = x2 −
3
∫
1
2
∫
1
2
同様な計算によって、
3
f3 = x3 − x
5
以上から、
1
3
f1 = x, f2 = x2 − , f3 = x3 − x を得た。
3
5
さて、この問題の一般論を考えよう。以下は、部分積分を用いた解法である。部分積分法とは、積の微分
(f ∫g´) = f´´g + f g´から、
∫
f (x)g´(x)dx = f (x)g(x) −
f´´(x)g(x)dx
となることを用いて不定積分や定積分を求める方法である。
f (n) を f の n∫階微分（導関数）とすると、部分積分を繰り返し用いることにより、
∫
∫
(n−1)
(n)
(n−1)
uv dx = uv´
dx = uv
− u´v (n−1) dx
∫
= uv (n−1) − u´v´(n−2) dx
∫
= uv (n−1) − u(1) v (n−2) + u(2) v (n−2) dx
∫
= u(0) v (n−1) − u(1) v (n−2) + u(2) v´(n−3) dx
∫
= u(0) v (n−1) − u(1) v (n−2) + u(2) v (n−3) − u(3) v (n−3) dx
···························
· · · · · · + (−1)(i) ui v (n−i−1) + · · · · · · + (−1)n−1 u(n−1) v (0) + (−1)n
∫
= u(0) v (n−1) − u(1) v (n−2) +
u(n) v (0) dx
さて、多少技巧的だが n 次の多項式の原始関数は(n + 1) 次であるから、n 次多項式はある2n 次多項式のn
階微分になるといってよい。
よって、問題（Ａ）は、fn につき、F (x) を 2n 次多項式とするとき、
F (n) (x) = fn
とおいてよい。
∫
1
−1
g(x)F (n) (x)dx
2
に部分積分をくり返し用いると上述の部分積分の式より、
、
∫
1
−1
[
]1
∫
g(x)F (n) (x)dx = g (0) F (n−1) − g´F (n−2) + · · · · · · ± g (n−1) F (0) ± g (n) F (0)
=0
−1
↓
0
この等式は、
F (1) = F (1) (1) = · · · · · · · · · = F (n−1) (1) = 0
F (−1) = F (1) (−1) = · · · · · · · · · = F (n−1) (−1) = 0
ならばいかなる (n − 1) 次の多項式 g について満たされる。然るに、2n 次の多項式
n
n
F (x) = (x + 1) (x − 1)
はこの条件を満たす。ゆえに任意の定数 C について、
fn( (x) = C
dn
[(x + 1)n (x − 1)n ]
dxn
が求める解（多項式）である。
¥
実際、C = 1 として、f1 , f2, f3 を求めると、
d
{(x + 1)(x − 1)} = 2x
dx
2 {
}
d
1
f2 = 2 (x + 1)2 (x − 1)2 = 12x2 − 4 = 12(x2 − )
dx
3
}
d3 {
3
3
3
f3 = 3 (x + 1) (x − 1) = 120x − 72x
dx
72
x)
= 120(x3 −
120
f1 =
3
= 120(x3 − x)
5
ここで、x の係数を１として考えると、上述の計算結果は、既述の素朴な計算結果と一致する。
そして、
Pn (x) =
]
1 dn [ 2
(x − 1)n
n
n
2 n! dx
なる関数も問題の条件を満たしており、ルジャンドルの（球）関数（多項式）と呼ばれている。係数
1
2n n!
は関連する数学、物理学などで発見される過程（ポテンシャル論）によって付いたものであり、問題の本質は、
]
dn [ 2
(x − 1)n の部分にある。
n
dx
なお、ルジャンドルの多項式については、以下が知られている。
(1)Pn (1) = 1, Pn (−1) = (−1)n
∫ 1
2
Pn (x)2 dx =
(2）‐ 1．
2n + 1
∫ −1
1
(2) ‐ 2．
Pm (x)Pn (x)dx = 0(m ̸= n)
−1
(3)Pn (x) = 0 の解は、すべて実根で、−1 と 1 との間にある。それらは単根で、Pn− (x) = 0 の解によって
隔離される。すなわち、Pn (x) = 0 の隣り合わせの二つの解の間に、Pn−1 = 0 の解がひとつずつ配置される。
(4)Pn (x) は微分方程式
d2
df
(x2 − 1) 2 f + 2x
− n(n + 1)f = 0
dx
dx
の解である。
本稿に関連する (1)、(2) ‐ 1 だけ証明しておこう（(2) ‐ 2 は定義から明らかである）
(1) の証明．
3
積の微分を繰り返し用いると、
∑
dn
[(x − 1)n (x + 1)n ] = n!(x + 1)n + n!(x − 1)n + α,β>1 k(x + 1)α (x − 1)β
dxn
}
∑
1 {
n!(x + 1)n + n!(x − 1)n + α,β>1 k(x + 1)α (x − 1)β
Pn (x) = n
2 ·n
よって、
Pn (1) = 1, Pn (−1) = (−1)n
(2)
 ‐１の証明
(2n)(2n − 1) · · · · · · (n + 1) n


Pn =
x + axn−1 + · · · · · ·
2n n!
(2n + 2)(2n + 1) · · · · · · (n + 2)

 Pn+1´=
· (n + 1)xn + bxn−1 + · · · · · ·
2n+1 (n + 1)!
より、
P ´= (2n + 1)Pn + Q （Q は (n − 1) 次以下）
よって、
∫ n+1
∫ 1
∫ 1
∫ 1
1
Pn Pn+1´dx = (2n + 1)
Pn2 dx +
QPn dx = (2n + 1)
Pn2 dx
−1
−1
−1
−1
∫ 1
( ルジャンドルの多項式の定義より、
QP dx = 0)
∫ 1 −1
∫ 1
P 2 dx
Pn Pn+1´dx = (2n + 1)
∴
−1
−1
∫ 1
∫
1
1
部分積分より上式の左辺 = [Pn Pn+1 ]−1 −
Pn´Pn+1 dx = [Pn Pn+1 ]=1 (
−1
n
= 1 × 1 − (−1) × (−1)n+1 （(1) より）
=
∫
1
よって、
−1
Pn2 dx
1
−1
Pn´Pn+1 dx = 0)
1 − (−1)2n+1
=2
2
=
2n + 1
この式は、以下（正規化）で用いる。
¥]
3．代数的アプローチ
問題を全く別の観点から考える。そのために内積（α|β) を持った R 上のベクトル空間 V を考える。
【定義】V を実数体 R 上のベクトル空間とする。
V の内積とは、V 上のベクトル α, β の各順序対に対して、次の条件を満たす R の元（α|β) を定める関数
のことである。
V のすべての α, β, γ とすべての実数 c に対して、
(a)(α + β|γ) = (α|γ) + (β|γ)
(b)(cα|β) = c(α|β)]
（c)(β|α) = (α|β)
（d)α ̸= 0 ならば、(α|α) > 0
＊複素数体上のベクトル空間のときは、(c) で、(β|α) は (α|β) の共役複素数となる。
[例１]（標準）内積は、ベクトル空間 R2 ( または R3 ) 上の内積
α = (x1 , x2 ), β = (y1 , y2 ) に対して、
（α|β) = x1 y1 + x2 y2
が内積の発祥の起源である。これはよく知られているように、
4
)
( ）
C
O
（α|β) = ||α|| · ||β|| cos θ
を表している。
[例 2] 実数係数の多項式空間 R[X] として、f, g ∈ R[X] に対して、
∫1
(f |g) = −1 f (x)g(x)dx
は内積の条件を満たす。¥
内積を持ったベクトル空間で重要な概念として正射影がある。ベクトル空間 R2 (R3 ) の元 α,
β に対して、β からα へ垂線を下した交点を C とするとき、α の向きを持ち、OC を長さとするベクトル αT
を
β の α への正射影と呼ぶ。
 αT = α · ||β|| cos θ
||α||
 (α|β) = ||α|| · ||β|| cos θ
より、cos θ を消去すると、
αT =
α
(α|β)
(α|β)
·||β||·
=
α
||α||
||α|| · ||β|| ||α||2
が成り立つ。
【定義】内積空間 V で、
（α|β) = 0 が成り立つとき、α と β は直交するという。V のベクトルの集合 S は、
それに属する任意の異なる２ベクトルが直交するとき、直交集合という。さらに、直交集合 S は、S の任意の
α に対して、||α|| = 1 となるとき、正規直交集合という。
内積を持ったベクトル空間に対しては、以下の定理が基本的かつ重要である。
【定理】（グラム‐シュミットの直交化法）
V は内積空間とし、β1 , β2 , · · · , βn は V 上の一次独立なベクトルとする。このとき各 k(k = 1, 2, · · · , n) に
対して集合
{α1 , α2 , · · · , αk }
が β1 , β2 , · · · , βk で張られた部分空間の基底となるような V の直交ベクトル α1 , α2 , · · · , αn を構成するこ
とができる。
[証明] ベクトル α1 , α2 , · · · , αn は、グラム‐シュミットの直交化法として知られる構成法によって求めるこ
とができる。まず、α1 = β1 とおく。他のベクトルは以下のように帰納的に与えられる。
5
いま、α1 , α2 , · · · , αm (1 5 m
n) を各 k に対して、
{α1 , α2 , · · · , αk } (1 5 k 5 m)
が β1 , β2 , · · · , βk で張られた V の部分空間の直交基底になるように選んだとする。次のベクトル αm+1 を
つくるため、
αm+1 = βm+1 −
m
∑
(βm+1 |αk )
k=1
||αk ||2
αk
このとき、αm+1 ̸= 0 である。そうではないと、βm+1 は α1 , α2 , · · · , αm の一次結合となり、したがって、
β1 , β2 , · · · , βm の一次結合となってしまう。さらにまた、１ 5 j / m のとき、
∑m (βm+1 |αk )
（αm+1 |αj ) = (βm+1 |αj ) − k=1
(αk |αj ) · · · · · · ( ＊）
||αk ||2
= (βm+1 |αj ) − (βm+1 |αj ) = 0
が成り立つ。ゆえに、{α1 , α2 , · · · , αm+1 } は、β1 , β2 , · · · , βm+1 で張られた部分空間の m + 1 個の０でな
いベクトルからなる直交集合であり、0 と異なるベクトルの直交集合は一次独立である( 後述＊＊）から、こ
の部分空間の基底である。このようにしてベクトル α1 , α2 , · · · , αn は、（＊）によって順次構成される。例え
ば n = 4 のときは、
α1 = β1
(β2 |α1 )
α1
||α1 ||2
(β3 |α1 )
α3 = β3 −
α1 −
||α1 ||2
(β4 |α1 )
α4 = β4 −
α1 −
||α1 ||2
α2 = β2 −
(β3 |α2 )
α2
||α2 ||2
(β4 |α2 )
(β4 |α3 )
α2 −
α3
||α2 ||2
||α3 ||2
（＊＊）0 と異なるベクトルの直交集合は一次独立である.
（証明）S は与えられた内積空間における 0 と異なるベクトルの有限または無限直交集合とする。
α1 , α2 , · · · , αm を S の相異なるベクトルとし、
β = c1 α1 + c2 α2 + · · · + cm αm
とおけば、
∑
（β|αk ) = (
j cj αj |αk )
=
∑
j cj (αj |αk )
= ck (αk |αk )
となる。(αk |αk ) ̸= 0 であるから、
（β|αk )
ck =
||αk ||2
(1 5 k 5 m)
となる。よって、β = 0 ならば、各 ck = 0 となる。したがって、S は一次独立である。¥
さて、前置きが長くなったが、グラム‐シュミットの直交化法を用いて、本稿の主題である問題（Ａ）を解
いてみよう。
V を実数係数の多項式空間とし、
f, g ∈ V とするとき、
∫ 1
（f |g) =
f（x)g(x)
−1
とおくと、(f |g) は V 上の内積空間を定義する。このとき、よく考えてみると、問題（Ａ）は、“V 上の直
交基底を求める”ということに他ならないことが容易にわかる。そこで、
6
{
βi (x) = xi−1 (i = 0, 1, 2, · · · · · · )
{
}
{β1 , β2 , β3 · · · } = 1, x, x2 , · · · · · ·
}
なる基本的な基底にグラム‐シュミットの直交化を用いて、直交基底 {α1 , α2 , α3 · · · · · · } を求めてみよう。
α1 = β1 = 1
(β2 |α1 )
α2 = β2 −
α1
||α1 ||2
∫
1 1
x · 1dx (||α1 || = 2)
=x−
2 −1
=x
(β3 |1)
(β3 |x)
α3 = x2 −
·1−
x
||α1 ||2
||α2 ||2
3 ∫1
1 ∫1 2
x dx − ( −1 x3 dx)x
= x2 −
−1
2
2
1
2
=x −
3
同様に、
3
α4 = x3 − x
5
以上より、
α1 = 1
α2 = x
1
3
3
3
α4 = x − x
5
α3 = x2 −
が求まった。
ここで、（2）‐１式を用いて、||f || = 1 となるように、ルジャンドルの多項式を正規化しておこう。
∫
1
−1
Pn (x)2 dx =
2
より、
2n + 1
・n = 1 :
2
, P1 = x であるから、
3
√
√
3
6
P1
=
x=
x
||P1 ||
2
2
・n = 2 :
2
1
||P2 ||2 = , P2 = (3x2 − 1)
5
2
√
51
P2
=
(3x2 − 1)
||P2 ||
2 2√
3 10 2 1
=
(x − )
4
3
・n = 3 : 〉
2
5
3
||P3 ||2 = , P3 = x3 − x であるから、
7
2
2
√
7 5 3 3
P3
=
( x − x)
||P3 ||
2 2
2
√
5 14 3 3
(x − x)
=
4
5
||P1 ||2 =
以上の結果は、素朴な計算方法、部分積分による方法に一致する。読者は、以上の一連の過程と結論をみ
て、どう思われるであろうか。数学には、答えはひとつしかないから、結論は当然ながら一致する。それにし
7
ても、解析的手法と線形代数による手法がまったく異なるアプローチであることを考えると、なにか巧妙な手
品を見せられているようで、狐につままれた感じがするのである。
筆者は、ルジャンドルの多項式は、解析的側面と代数的側面の双方を持ち合わせていると考える。出所の歴
史は、ポテンシャル論という数理物理学であり、関連する微分方程式も存在する。一方、代数的側面は、数学
を構造的にみると積分の線形性と多項式からなる関数空間の直交性が重要な事象となっており、これに由来す
る。さらに、関数空間の観点からは、
dn −x2
e
dxn
k
∑n−k
d
dn
(n!)2
Lkn (x) = k (ex n (xn e−x )) = m=0 (−1)n+k
xm
dx
dx
m!(m + k)!(n − m − k)!
エルミート（Hermite) の多項式:Hn (x) = (−1)n ex
ラゲール
（Laguerre) の多項式：
2
なども同様に空間の直交性から論じることができる。物理学では、量子力学でラゲールの多項式が扱われて
おり、物理数学ではルジャンドル、エルミート、ラゲールの各多項式などが直交関数系として統一して論じら
れて直交関数系自体でひとつの領域を形成している。以上の経緯からすると物理学を中心的な課題とする本サ
イトでこそ、これらの多項式は物理数学として主役たる役割を果たしているといえるだろう。本サイトでもク
ロメル氏が著作「ものにする量子力学」で扱っているほか、ルジャンドルの多項式などについても記事を書か
れているので参照されたい。
追記：ルジャンドルの多項式の出所（解析概論（高木）より）
ポテンシャル論において、
1
√
1 − 2r cos θ + r2
を r のべき級数に展開したとき、この展開の係数としてルジャンドルの球関数
すなわち、
√
Pn (x) が生ずるという。
∞
∑
1
=
Pn (cos θ)rn
1 − 2r cos θ + r2
n=0
1
これが Pn (x) の出所である。(1 − 2rx + r 2 )− 2 を Pn (x) の母関数という。
＊本稿の執筆に際しては、以下を参考とした。
・解析概論（高木貞治、岩波書店）
・線形代数学（Ｋ．ホフマン・Ｒ．クンツェ、培風館）
＊筆者経歴
東京大学理学部数学科を経て教育学部卒業。証券会社、外資系通信社で金融・資本市場の業務を経験。専門は、債券資
本市場。主な著書・論文：
『信用リスクを読む』
（日本評論社）
、
『信用リスクとＭ＆Ａ』
（同）
、
『世界金融危機と信用リスク』
（同）、『鎮めの文化と資本市場』（ブルームバーグ）
、
『金融派生商品』
メール：[email protected]
8

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