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いうえおかきくいうえおかき
2017 年度大学入試センター試験解説〈数学Ⅱ・B〉
第１問
〔 1〕

4
 cos 2a  cos 2b 

15


2 15
 cos a cos b  
15

 ①
 ②
において,①で 2 倍角の公式を用いると,
4
2 cos 2 a  1  2 cos 2 b  1  15
cos 2 a  cos 2 b  1 
cos 2 a  cos 2 b 
2
15
17
 ⑦
15
……アイ,ウエ
が得られる。
また,②の両辺を 2 乗することで,
 2 15 2


cos 2 a cos 2 b   
15 

より, cos 2 a cos 2 b 
4 15
15 2
よって,
cos 2 a cos 2 b 
4
 ⑧
15
……オ
2
2
⑦,⑧より, cos a,cos b は,解と係数の関係より, t についての 2 次方程式
15t 2  17t  4  0 ,つまり, 5t  4 3t  1  0 ⑨
の 2 解である。
4 1
⑨の 2 解は t  , であるが,
5 3
cos a  cos b ,つまり, cos a 2  cos 2 b
であるから,
4
1
cos 2 a  ,cos 2 b 
5
3
……カ,キ,ク,ケ
さらに,②より, cos a と cos b は異符号であるから, 0  a  p,0  b  p より,
p
p
より小さく,一方は
より大きい。
a,b の一方は
2
2
p
これと a  b より, 0  a   b  p となり, cos a  0,cos b  0
2
,
したがって
cos a 
2
5

2 5
1
 3

,cos b  
5
3
3
-1-
……コ～ソ
いうえおかきくいうえおかき
〔 2〕
y
B
B (p,log2 p),C (q ,log2 q)
3
2
について,真数の条件より,
p  0,q  0
……タ
y = log 2 x
C
A
1
O
である。
1 2
q
p
x
 3
このとき, A 0 , ,B (p ,log2 p) より，線分 AB を1 : 2 に内分する点の座標は,
 2


3
 2  0  1  p 2   1  log2 p 
2


,


12
12




すなわち,
1

1


 3 p ,3 log2 p  1


……チ～ナ
と表される。これが C (q ,log2 q) と一致するので,













1
pq
3
1
log2 p  1  log2 q
3
 ④
 ⑤
が成り立つ。
⑤より，
log2 p  3  3 log2 q
log2 p  log2 23  log2 q 3
log2 p  23  log2 q 3
であるから,
8p  q 3
1 3
より, p  8 q ⑥
……ニ,ヌ,ネ
また,④より, p  3q ⑦ であるから,
3q 
1 3
q
8
より, q 2  24
よって， q  0 に注意すると
q2 6
……ヒ,フ
である。
これと⑦より,
p  32 6  6 6
……ノ,ハ
-2-
いうえおかきくいうえおかき
また,C の y 座標 log2 (2 6 ) について,
log2 (2 6 )  log2 2  log2 6
1
 1  log2 6
2
1
 1  (log2 2 + log2 3)
2
3 1
  log2 3
2 2
3 1 log10 3
  
2 2 log10 2
3
0.4771

2 2  0.3010
 1.5  0.79 

 2.29 
であるから, log2 (2 6 ) の値を，小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めると
2.3
……6
……ヘ
-3-
いうえおかきくいうえおかき
第２問
C : y = x 2+1
y
(1) y  x 2  1 より,
y '  2x
よって, x  t での微分係数は 2t なので,
2
点 (t ,t  1) における C の接線の方程式は,
y  2 t  x  t  t 2  1
2
すなわち,
1
y  2 tx  t 2  1
……②
P0 a,2a 1
O
……ア,イ
a
x
1
この直線が P (a ,2a) を通るとき， 2 a  2t  a  t 2  1 より,
t 2  2 at  2 a  1  0
……③
……ウ,エ,オ
を満たす。よって，③より, t  2 a  1 t  1  0 となり,
t  2 a  1,1
……④
……カ,キ,ク
である。
ここで，P を通る C の接線が 2 本あるのは,④で得られた 2 つの接点の x 座標,
2 a  1 と 1 が異なるときである。
よって，
2a  1  1
すなわち,
a 1
……ケ
であり，このとき, P を通る 2 本の接線の方程式は,②に④の t の値を代入して,
2
y  2 2a  1 x  2 a  1  1
すなわち,
y  ( 4 a  2) x  4 a 2  4 a
……①
……コ,サ,シ,ス
と
y  2 1x  12  1
すなわち,
y  2x
……セ
である。
(2) r  4a 2  4a であるから, r  0 となるのは,
4 a 2  4 a  0
a  a  1  0
より,
0
0a 1
……ソ,タ
のときである。
-4-
1
a
y = -4a 2 + 4a
いうえおかきくいうえおかき
y
このとき,△OPR は，OR を底辺と見たとき, 高さが
P の x 座標 a である三角形なので, その面積 S は
S
1
  4 a 2  4 a   a
2

2
2 a a
3
R
-4a 2 + 4a

P
……チ,ツ,テ
O
となる。
x
a
1
f a  2  a 2  a 3  とおくと,
y = 2a 0 2 -3a 1
f '  a  2  2 a  3 a 2 

2
 6a a  

3
＋
よって， S   f (a) は a 
a
2
3
0
であるから， 0  a  1 のとき, f a の増減は右下のようになる。
-
2
のとき, ……ト,ナ
3
…
2
3
…
f -0 a 1
+
0
-
f0 a 1
9
a
最大値
 2 2  2 3 


2
f    2 
     


3
 3   3  


 2 2 

2
 2   1  
3 
3
0
1
:
4 1
8
 2  
9 3 27
……ニ,ヌネ
をとる。
y
(3) 求める面積 T は右図の網目部分の面積で,
2
a
T    x 2  1  4a  2 x  4a 2  4a  dx
0

a
0
x2  4a  2 x  4a 2  4a  1 dx
P
1
a
  x3  2a  1 x 2  4a 2  4a  1 x
 3
 0
1 3
a  2 a  1 a 2  4a 2  4a  1 a
3
7
 a3  3 a2  a
……ノ,ハ,ヒ,フ
3

よって,
g  a 
7 3
a  3a 2  a
3
とおくと,
-5-
x
O
2a-1
a
1
いうえおかきくいうえおかき
g '  a  7 a 2  6 a  1
ここで, g ' a  0 となる a は a 
2 3 2 53 2



3
7
21
3 2
であり,
7
25  18
0
21
3+U 2
7
＋
であるから,
2
 a  1 で g '  a  0
3
2
よって, T   g  a は  a  1 で増加する。
3
……2
0
3-U 2
7
2
3
1
……ヘ
（注）T の計算を行うには,数学Ⅲの範囲の計算であるが,
 x  a
n
dx 
1
n1
x  an  1  C (C は積分定数)
を用いる方法もあり,接線と囲む面積を求める際に特に有用である。
l : y   4 a  2 x  4 a 2  4 a
は,C の x  2 a  1 における接線なので,
x 2  1    4 a  2  x  4 a 2  4 a 
2
 x  2 (2 a  1) x  (2 a  1)
  x  2 a  1 
2
2
と表される。よって,
T

0
a
2
 x  2 a  1  dx
a
1

3
   x  2 a  1  
 3
 0


1
3
7
3
  a  13 
1
3
 2 a  13
a3  3 a2  a
……ノ,ハ,ヒ,フ
-6-
いうえおかきくいうえおかき
第３問
(1) {sn } は初項が 1,公比が 2 の等比数列であるから,
s1  1, s2  2, s3  4
よって,
s1 s2 s3  1  2  4  8 ， s1  s2  s3  1  2  4 = 7
……ア,イ
(2) {sn } は初項が x,公比が r の等比数列であるから,
s1  x, s2  xr, s3  xr 2 ⑥
よって,
s1 s2 s3  x3 r 3  (xr)3
これと①より,
3
xr ＝a3
であり，x,r は実数であるから
xr＝a ③
……ウ
また，②,⑥より,
x  xr  xr 2  b
この両辺に r をかけると
xr  (xr)  r  (xr)  r 2  br
であるから,③を用いて
a  ar  ar 2  br
より，
a r 2  (a  b)r  a  0 ④
……エ,オ,カ,キ
a  0 より，④は r についての 2 次方程式となるから，④を満たす実数 r が存在する条件は,
(④の判別式)  0
より，
2
 a  b  4a 2  0
すなわち，
3 a 2  2 ab  b2  0 ⑤
……ク,ケ
，b  336 のとき,④より,
(3) a  64 64r 2  272r  64  0
4r 2  17r  4  0
4r  1 r  4  0
であるから
1
r  ,4
4
-7-
いうえおかきくいうえおかき
r  1 であるから,
……コ
r4
であり,③より,
x  4  64
よって,
……サシ
x  16
このとき, {sn } の一般項 sn は
sn = 16  4n -1 = 4n＋1
であるから,
tn = 4n＋1 log4 4n＋1
すなわち，
tn＝(n + 1)  4
n＋1
……ス,セ
したがって, Un＝t1  t2  t3    tn
は,
Un = 2  42  3  43  4  44    (n  1）
 4n  1
2  43  3  44   
- ) 4 Un =
3 Un = 2  42  43  44   
 4n  2
n  4n 1  (n  1）
4n 1  (n  1）
 4n  2
より,
3 Un = 42  42 (1  4  42    4n 1 )  (n  1）
 4n  2
4n  1
 n  1  4n  2
4 1
32 4n  2  3 n  1  4n  2


3
3
n2
32
3n  2  4


3
3
 42  42 
よって,
Un 
3n  2 n  2 32
4 
9
9
……ソ～ナ
-8-
いうえおかきくいうえおかき
第４問
(1) 題意より，円周上の点 A，B，C，D，E，F の配置は
y
右下図のようになる。

p
p
よって， B 2 cos ,2 sin  より，B の座標は

3
3
B
C
U3
……ア,イ
B (1, 3 )
N
である。また，右図より,D の座標は
M
……ウ
D (-2,0)
である。
-2
D
-1
O
1
A
2
(2) 線分 BD の中点 M の座標は
 2  1 0  3 

M 
,
2 
 2
すなわち，
E
 1 3 
M   , 
 2 2 
-U 3
F
-2
である．よって,
  5 3 
  1
3
AM     2,  0    , 
2
 2
  2 2 

DC   1  ( 2), 3  0  1, 3


であるから,直線 AM と直線 CD の交点 N に対して,



ON  OA  rAM
 5 3 

 (2,0)  r   , 
 2 2 

5
3 

 2  r, r ①

2
2 
 

ON  OD  s DC
 ( 2,0)  s 1, 3 
 s  2, 3s
②
の 2 通りで表すと,①,②より,

5


2 r  s2


2



3


r  3s 

 2
③
④
よって,④より， r  2s であるから,これを③に代入すると,
2  5s  s  2
-9-
……エ～キ
……ク,ケ
x
いうえおかきくいうえおかき
したがって,
s
2
4
，r 
3
3
……コ～ス
よって,②より,
  4 2 3 

ON    ,
 3 3 
……セ～ツ
(3) P (1,a) であるから

EP  1  ( 1),
a  (  3 )

 2,a  3

……テ,ト,ナ
ここで, H の y 座標は a であるから, H (x ,a)
とおくと,

CH  x  ( 1),a  (  3 )
y
 x  1,a  3 
 
EP  CH より, EP  CH  0 であるから,
B
C
2,a  3   x  1,a  3   0
より,
2 x  1   a  3 a  3   0
2x  2  a 2  3  0
-2
D
O
-1
2x   a 2  1
a
H
1
P 0 1,a 1
よって,
x
 a2  1
2
となり,
E
  a 2  1 

H 
,a
 2

F
……ニ～ハ
である。さらに,

OP  a 2  1

OH 
  a 2  1 2
2


 2   a 
a4  2a2  1

4
a 2  1
2
4
 
12
であるから, OP と OH のなす角 q が cos q 
を満たすとき,
13
   
OP  OH  OP OH cos q
より,
  a 2  1 
a 2  1 12
,a  a 2  1 

2
2
13

1,a
- 10 -

a2  1
2
A
2
x
いうえおかきくいうえおかき
すなわち,
 a2  1
6 2
 a2 
a  1 a 2  1
2
13
a2  1
6 2

a  1 a 2  1
2
13
13
a2  1 
12
13 2
a2  1  2
12
これより,
a2 
13 2
13 2  12 2 13  12 13  12
52

 2
2 1 
2
2
12
12
12
12
であるから,
a
5
12
……ヒ,フ,へ
- 11 -

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