新 線形代数 問題集
4 章 行列の応用 § 1 線形変換 (p.59∼p.)
¯
¯ 2
¯
¯
¯ 1
BASIC
218 であるから，
y
y = −x
¯
4 ¯¯
\ 0
¯ = −2 − 4 = −6 =
−1 ¯
Ã
!
Ã
2
4
2
P(x, y)
y
よって，
x0
O
A =
x
x
Ã
5
x0 = −y
y 0 = −x
219 （ 1 ）は，x0 を表す式に定数項があるので，線形変換ではない．
（ 3 ）は，y 0 を表す式に 2 次の項があるので，線形変換ではない．
!Ã
2
1
x0
!
Ã
!
− 3x
=
y0
x+y
Ã
!
−3 0
より，
1
Ã
220（ 1 ） Ã
Ã
!Ã !
−3 0
x
=
1 1
222 題意より，f (p) =
y
0
y
Ã
1
より，
Ã
Ã
!
x−y
=
=
2x + 5y
!
−1
2
Ã
−4
−1
2
!−1
1
!
à !
−2
, f (q) =
3
=
!
−1
!
−1
5
（ 1 ） f (p + q) = f (p) + f (q)
1
x0
4
1
= 1
−6
9
（ 2 ）が線形変換であり，変換を表す行列は
Ã
は正則で，
−1
Ã
!−1
3 1 −1
Ã
!Ã
!
5 1 −1 −4
1
=−
6 9 3 −1
2
Ã
!
−5 − 1 −20 + 2
1
=−
6 −9 − 3 −36 + 6
Ã
! Ã
!
−6 −18
1 3
1
=−
=
6 −12 −30
2 5
y0
P0 (x0 , y 0 )
(
1
4
!Ã
1
−1
x
2
5
y
!
1
!
+
3
à !
−2
5
Ã
=
!
−1
8
（ 2 ） f (p − q) = f (p) − f (q)
Ã
=
1
!
−
3
à !
−2
5
Ã
=
!
3
−2
5
（ 3 ） f (3p + 2q) = f (3p) + f (2q)
また，点 (3, − 1) の像の座標は
Ã
x0
!
=
y0
=
Ã
1
!Ã
−1
2
5
!
Ã
3+1
6−5
3
= 3f (p) + 2f (q)
à !
à !
1
−2
=3
+2
3
5
à ! à ! à !
3
−4
−1
=
+
=
9
10
19
!
−1
à !
4
=
1
よって，(4, 1)
Ã
（2） x0
!
y0
Ã
0
より，
Ã
!
−3y
=
=
2x − y
!
−3
2
Ã
!Ã
0 −3
x
2 −1
y
!
x0
!
=
y0
=
Ã
Ã
0
!Ã
−3
2 −1
Ã
!
0+3
6+1
3
2
221 A
!
A
1
Ã
2
1
Ã
=
5
4
−1
である．ここで，
=
!
3
Ã
, f (b) =
5
!
2
!
Ã
=m
−3
=
−1
à !
3
=
7
(
よって，
2
!
1
Ã
+n
1
!
3
Ã
!
2m + n
m + 3n
2m + n = 4
m + 3n = −3
これを解いて，m = 3, n = −2
!
Ã
, A
9
! Ã
4
!
よって，(3, 7)
Ã
223 題意より，f (a) =
1
ここで，c = ma + nb とおくと，
−1
また，点 (3, − 1) の像の座標は
Ã
Ã
5 1
9 3
4
!
−1
!
Ã
=
1
3
よって，c = 3a − 2b であるから
!
f (c) = f (3a − 2b)
より，
= 3f (a) − 2f (b)
à !
à !
1
5
=3
−2
3
2
! Ã !
à ! Ã
−7
10
3
=
−
=
5
4
9
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（ 4 ） 直線上の任意の点 P(2 + t, 1 + 3t) の線形変換による像を
P0 (x0 , y 0 ) とおくと
Ã
! Ã
!Ã
!
x0
2+t
−3
1
=
y0
6 −2 1 + 3t
Ã
!
−3(2 + t) + (1 + 3t)
=
6(2 + t) − 2(1 + 3t)
à !
−5
=
10
(
0
x = −5
224（ 1 ） 直線 y = 2x + 3 上の任意の点 P(x, 2x + 3) の線形変換に
よる像を P0 (x0 , y 0 ) とおくと
Ã
x0
!
=
y0
=
=
(
よって，
Ã
2
!Ã
3
x
!
1 0 2x + 3
Ã
!
2x + 3(2x + 3)
x+0
!
Ã
8x + 9
x
0
x = 8x + 9
···°
1
y0 = x
···°
2
よって，
y 0 = 10
したがって，求める図形は，点 (−5, 10)
°
2 を°
1 に代入して
x0 = 8y 0 + 9
したがって，求める図形は，直線 x − 8y = 9
3x−3
2³
´
3 x − 3 の線形変換による
この直線上の任意の点 P x,
2
像を P0 (x0 , y 0 ) とおくと
225 f ◦ g を表す行列は
Ã
!Ã
!
1 −2 3
1
3
4
4
−1
x
0
!
=
y0
=
=
(
よって，
Ã
2
!Ã
4
x
!
3
1 2
2x−3
Ã
!
2x + 4( 32 x − 3)
x + 2( 32 x − 3)
Ã
!
8x − 12
4x − 6
x0 = 8x − 12
0
y = 4x − 6
···°
1
Ã
−5
3
25
−1
!Ã
!
1
=
−1
=
g ◦ f を表す行列は
Ã
!Ã
!
3
1 1 −2
4
−1
3
4
P0 (x0 , y 0 ) とおくと
! Ã
!Ã
!
Ã
1 2
3−t
x0
=
y0
−3 1 2 + 3t
Ã
!
(3 − t) + 2(2 + 3t)
=
−3(3 − t) + (2 + 3t)
!
Ã
7 + 5t
=
−7 + 6t
(
x0 = 7 + 5t
25 −1
Ã
!
−5 − 3
25 + 1
à !
−8
26
Ã
=
=
!
−6 + 4
−8 − 4
!
−2
6
1 −12
また，g ◦ f による点 P(1, − 1) の像は
!Ã
!
Ã
6
−2
1
1
−12
−1
Ã
=
Ã
=
!
6+2
1 + 12
!
8
13
これより，(8, 13)
226（ 1 ） 逆変換 f −1 を表す行列は
Ã
!
Ã
!−1
5
−2
1 2
= 1
5 − 6 −3
1
3 5
!
Ã
−5
2
=
3 −1
（ 2 ） 点 (2, − 1) に移されるもとの点の座標は
Ã
2
3
−1
!Ã
−5
!
2
−1
Ã
=
Ã
y 0 = −7 + 6t
=
したがって，求める図形は，
直線 x = 7 + 5t, y = −7 + 6t (t は媒介変数)
3+3
4−3
Ã
整理すると，x0 − 2y 0 = 0
（ 3 ） 直線上の任意の点 P(3 − t, 2 + 3t) の線形変換による像を
−5
これより，(−8, 26)
2y 0 = (x0 + 12) − 12
したがって，求める図形は，直線 x − 2y = 0
3−4
!
3
また，f ◦ g による点 P(1, − 1) の像は
···°
2
°
1 より，x = x + 12
8
°
2 に代入して
4(x0 + 12)
y 0 =
−6
8
8y 0 = 4(x0 + 12) − 48
!
3−8 1+2
9 + 16
=
0
よって，
=
Ã
（ 2 ） 3x − 2y = 6 より，y =
Ã
Ã
!
−10 − 2
6+1
!
−12
7
よって，点 (−12, 7)
または，t を消去して
x − 7 = y + 7 より，6(x − 7) = 5(y + 7)
5
6
すなわち，直線 6x − 5y = 77
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Ã
227（ 1 ） f −1 を表す行列は
Ã
!−1
Ã
!
2 5
3 −5
1
=
6 − 5 −1
1 3
2
Ã
!
3 −5
=
···°
1
−1
2
!Ã
−1
2
1
−3
5
1
!
=
=
Ã
g◦f =
0
−1
1
0
1 3
3
−1
Ã
!−1
−1
−3
!Ã
!
3
−5
0
1
−1
2
−1
0
Ã
=
!Ã
3
−5
1
−1
2
1
!
Ã
=
=
Ã
2
5
3
−2
−1
!Ã
5
1
!
1
−1
!Ã !
1
1
=
5
3
−2
−1
···°
4
!
3−5
1
0
1
=
=
0+1
!
−1 + 0
à !
1
−1
よって，点 (1, − 1)
f ◦ g によって，点 (1, 1) に移されるもとの点の座標は，°
3
より
Ã
−1
−3
!Ã !
2
1
5
1
=
=
=
!
−1 + 2
à !
−2
Ã
Ã
Ã
g によって，点 (1, 1) に移されるもとの点の座標は，°
2 より
0
5
!
3
−1
座標は
よって，点 (−2, 1)
Ã
2
したがって，g ◦ f によって，点 (1, 1) に移されるもとの点の
（ 2 ） f によって，点 (1, 1) に移されるもとの点の座標は，°
1 より
Ã
=
!
−1 −3
Ã
5
1
=
−5 + 6 −2
Ã
!
5
3
=
−2 −1
°
1, °
2 より，f −1 ◦ g −1 を表す行列は
Ã
Ã
であるから，(g ◦ f )−1 を表す行列は
Ã
!
−1 2
1
=
−5 + 6 −3 5
Ã
!
−1 2
···°
3
=
−3 5
!−1
2
!Ã
!
2 5
であるから，(f ◦ g)−1 を表す行列は
−2
−3 + 5
à !
1
よって，点 (1, 2)
g −1 を表す行列は
Ã
Ã
!−1
!
0 −1
0 1
1
=
0 + 1 −1 0
1
0
Ã
!
0 1
=
···°
2
−1 0
Ã
!Ã
! Ã
!
2 5 0 −1
5 −2
f ◦g =
=
1 3 1
0
3 −1
Ã
5
Ã
!
−1 + 2
Ã
!
−1 + 2
−3 + 5
à !
1
2
よって，点 (1, 2)
f ◦ g によって，点 (1, 1) に移されるもとの点の座標は，°
3
5+3
!
−2 − 1
!
8
−3
よって，点 (8, − 3)
※ 変換 f, g を表す行列をそれぞれ A, B とすると，変換 g ◦f
を表す行列は，BA となる．これより，(g ◦ f )−1 を表す行列
は
(BA)−1 = A−1 B −1
となり，これは，変換 f −1 ◦ g −1 を表す行列となっている． よって，°
4 は，(g ◦ f )−1 を表す行列である．
228 f の逆変換 f −1 を表す行列は
Ã
!−1
Ã
!
3 1
2
−1
= 1
6 − 4 −4
4 2
3
!
Ã
2 −1
= 1
2 −4
3
直線 y = x + 2 上の任意の点 P(x, x + 2) のもとの座標を
P0 (x0 , y 0 ) とすると
!
Ã
Ã
!Ã
!
x0
2 −1
x
1
=
2 −4
y0
3 x+2
!
Ã
2x − (x + 2)
1
=
2 −4x + 3(x + 2)
!
Ã
x−2
1
=
2 −x + 6
1
···°
1
x0 = (x − 2)
2
よって，
y 0 = 1 (−x + 6) · · · °
2
2
0
°
1 より，x = 2x + 2 であるから，これを°
2 に代入して
1
0
0
0
y = {−(2x + 2) + 6} = −x + 2
2
したがって，求める図形は，直線 y = −x + 2
より
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229 座標平面上の点を原点のまわりに π だけ回転させる変換を表す
3
行列は
π
1
− sin
3
2
=
√3
cos π
3
2
cos π
3
π
sin
3
√
Ã
3
−
1
2
1
=
√
2
3
1
2
1
√
2
Ã
1
−1
1
1
!(
√1
2
à !)
−1
7
Ã
1
Ã
√ !
1−2 3
1
=
√
√
2
3
1
2
3+2
µ
¶
√
√
3
1
よって，
− 3,
+1
2
2
1
√ !Ã !
− 3
1
cos
sin
π
4
π
4
点 D の座標は
0
であるから，
1
1
√ 1
2
0
−1
0
Ã
1
−1
1
1
!Ã !
−4
3
2
Ã
= √1
2
Ã
1
1
√
√
−
0
0
2
2
1
1
=
√
√
0
0
2
2
1
0
0
1
1 −1
0
= √1
1
1
0
2
√
2
0
0
0
1
√
2
− sin π
4
π
cos
4
= √1
2
点 E の座標は
1
√
2
Ã
1
−1
1
1
!(
√1
2
à !)
−7
−1
3 = √1 2 + 3 + 0
0
2
√
√
0
2
1
0+0+ 2
−1
1
= √ 5
2 √
2
µ
¶
1
5
よって， − √ , √ , 1
2
2
点 F の座標は
1
√
2
A(3, 4)
E
点 C の座標は
1
1
!Ã !
−3
= 1
2
−4
Ã
= √1
2
Ã
Ã
1
−1
!Ã !
−7
1
√
2
π
4
!
−3 + 4
−3 − 4
!
1
= √1
2 −7
µ
¶
1
7
よって，F √ , − √
2
2
Ã
1
−1
1
1
!(
Ã
√1
2
!)
1
= 1
2
−7
Ã
1
−1
!Ã
!
1
1
1 −7
!
Ã
1+7
= 1
2 1−7
à ! à !
4
8
1
=
=
2 −6
−3
F
1
!
Ã
√
− √1
− sin π
1 −1
2
4 2
1
=
= √
2 1
1
√1
√1
cos π
4
2
2
であるから，点 B の座標は
Ã
!Ã !
Ã
!
1 −1
3
3−4
1
1
√
= √
2 1
2 3+4
1
4
à !
−1
1
= √
2
7
µ
¶
1
7
よって，B − √ , √
2
2
cos π
4
π
sin
4
−1
G
図のように頂点を定める．座標平面上の点を原点のまわりに
だけ回転させる変換を表す行列は
Ã
1
点 G の座標は
H x
O
D
−4 + 3
!
−7
よって，E(−3, − 4)
231 2π ÷ 8 = π より，正八角形の各頂点は，点 A を原点のまわり
4
π
に順次
ずつ回転させた点となる．
4
y
π
4
!
−4 − 3
1
1 −1
Ã
!
−7 + 1
1
=
2 −7 − 1
à ! à !
−6
−3
1
=
=
2 −8
−4
1
C
!Ã !
−1
−1
µ
¶
7
1
よって，D − √ , − √
2
2
2−3+0
B
−1
よって，C(−4, 3)
230 空間内の点を z 軸のまわりに π だけ回転させる変換を表す行列
4
は
Ã
1
1
1
7
!
Ã
−1 − 7
= 1
2 −1 + 7
à ! à !
−8
−4
1
=
=
2
6
3
√ !
− 3
であるから，
1
2
= 1
2
よって，G(4, − 3)
点 H の座標は
1
√
2
Ã
1
−1
1
1
!Ã
!
4
−3
Ã
= √1
2
4+3
!
4−3
à !
7
= √1
2 1
µ
¶
7
1
よって，H √ , √
2
2
232（ 1 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b とおく。すなわち
Ã
a =
0
1
!
，b =
à !
−1
0
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このとき
a
2
= 02 + 1 2 = 1
b
2
= (−1)2 + 02 = 1
a · b = 0 · (−1) + 1 · 0 = 0
よって，与えられた行列は直交行列である。
（ 2 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b とおく。すなわち
Ã
a =
!
0
−1
Ã
，b =
1
1
− √1
2
2
2
− √1
√1
a=
，b =
，c =
0
2
2
1
1
1
√
2
2
2
このとき
a
2
b
2
!
−1
0
このとき
a
2
= 0 + (−1) = 1
b
2
= (−1)2 + 02 = 1
2
2
a · b = 0 · (−1) + (−1) · 0 = 0
よって，与えられた行列は直交行列である。
（ 3 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b とおく。すなわち
1
1
√
√
2
2
a =
，b =
√1
√1
2
2
このとき
a
2
µ
=
√1
2
¶2
µ
+
√1
2
¶2
= 1 + 1 =1
2
2
µ
¶2 µ
¶2
2
1
b = √
+ √1
2
2
= 1 + 1 =1
2
2
1
1
1
1
a · b = √ · √ + √ · √
2
2
2
2
1
1
\ 0
+
=1=
=
2
2
よって，与えられた行列は直交行列ではない．
このとき
a
2
=
µ
√1
2
¶2
µ
+
√1
2
よって，与えられた行列は直交行列である．
（ 5 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b，c とおく。すなわち
´2
= 1 + 1 + 1 =1
4
2
4
µ
¶2
µ
¶2
2
c = − √1
+ 02 + √1
2
2
= 1 + 1 =1
2
2
µ
¶
1
1
1
a·b=− ·
+ −√
· √1 + 1 · 1
2 2
2 2
2
2
1
1
1
=
−
+
=0
4 µ2
4¶
µ
¶
1
1
1
1
1
b·c=
· −√
+ √ ·0+
· √
2
2
2
2
2
1
1
=− √ + √ =0
µ2 2 ¶ 2 2
µ
¶
c · a = − √1
· 1 + 0 · − √1
+ √1 · 1
2
2
2
2 2
よって，与えられた行列は直交行列である。
（ 6 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b，c とおく。すなわち
2
a=
a
1
2
1
1 ，b = 1 2，c = 1 −2
3
3
3
2
−2
−1
このとき
¶2
= 1 + 1 =1
2
2
¶2 µ
¶2
µ
2
1
b = √
+ − √1
2
2
= 1 + 1 =1
2
2
µ
¶
1
1
1
1
a · b = √ · √ + √ · − √
2
2
2
2
= 1 − 1 =0
2
2
1
2
1 + √
1 =0
=− √
2 2
2 2
（ 4 ） 与えられた行列の列ベクトルを a，b とおく。すなわち
1
1
√
√
2
2
a =
，b =
1
1
√
−√
2
2
¶2 ³ ´
µ
2
1
=
+ −√
+ 1
2
2
= 1 + 1 + 1 =1
4
2
4
¶2 ³ ´
³ ´2 µ
2
1
1
+ 1
=
+ √
2
2
2
³
2
=
³
1
3
´2
(22 + 12 + 22 )
= 1 (4 + 1 + 4) = 1 · 9 = 1
9
9
³ ´2
2
1
2
2
{1 + 2 + (−2)2 }
b =
3
= 1 (1 + 4 + 4) = 1 · 9 = 1
9
9
³ ´2
2
1
2
{2 + (−2)2 + (−1)2 }
c =
3
= 1 (4 + 4 + 1) = 1 · 9 = 1
9
9
1
1
a·b=
· {2 · 1 + 1 · 2 + 2 · (−2)}
3 3
= 1 (2 + 2 − 4) = 0
9
1
b·c=
· 1 {1 · 2 + 2 · (−2) + (−2) · (−1)}
2 3
= 1 (2 − 4 + 2) = 0
9
c · a = 1 · 1 {2 · 2 + (−2) · 1 + (−1) · 2}
3 3
= 1 (4 − 2 − 2) = 0
9
よって，与えられた行列は直交行列である。
以上より，直交行列は，（ 1 ）,（ 2 ）,（ 4 ）,（ 5 ）,（ 6 ）
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