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2015 早稲田大学教育学部理科系（Ｂ方式）数学解答例
１
(1) 2x3 + x + 5
1
(2) 1 − √
3
(3)
7
20
(4)
7
3
２
(1) 3 種類の記号から重複を許して n 個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ n の記
号列の総数は 3n 個である．
このような長さ n + 1 の記号列のなかで，a がちょうど偶数個含まれるものは
（ア）長さ n の記号列で，a がちょうど偶数個含まれるものに，a 以外の記号をつけ加
えたもの
（イ）
長さ n の記号列で，a がちょうど奇数個含まれるものに，a をつけ加えたもの
となるので
g(n + 1) = 2 · g(n) + 1 · {3n − g(n)}
= g(n) + 3n
(n >
= 1)
が成り立つ．よって，示された．
(2) (1) より，n >
= 2 のとき
g(n) = g(1) +
n−1
∑
3k
k=1
=2+3·
=
3n + 1
2
3n−1 − 1
3−1
これは，n = 1 でも成り立つので
g(n) =
3n + 1
2
::::::
(n >
= 1)
となる．
(3) m 種類の記号から重複を許して n 個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ n の記
号列の総数は mn 個である．
このような長さ n + 1 の記号列のなかで，a がちょうど奇数個含まれるものは
（ウ）長さ n の記号列で，a がちょうど奇数個含まれるものに，a 以外の記号をつけ加
えたもの
（エ）
長さ n の記号列で，a がちょうど偶数個含まれるものに，a をつけ加えたもの
となるので
km (n + 1) = (m − 1) · km (n) + 1 · {mn − km (n)}
km (n + 1) = (m − 2) · km (n) + mn
1
……⃝
が成り立つ．
km (n + 2) = (m − 2) · km (n + 1) + mn+1
km (n + 1) = (m − 2) · km (n) + mn
2
……⃝
3
……⃝
2 −⃝
3 × m より
⃝
km (n + 2) − m · km (n + 1) = (m − 2) {km (n + 1) − m · km (n)}
が成り立つ．よって，数列 {km (n + 1) − m · km (n)} は，公比 m − 2 の等比数列となり，そ
の初項は
km (2) − m · km (1) = (2m − 2) − m · 1
=m−2
である．よって
km (n + 1) − m · km (n) = (m − 2)n
4
……⃝
1 ，⃝
4 より km (n + 1) を消去すると
となる．よって，⃝
2km (n) = mn − (m − 2)n
km (n) =
mn − (m − 2)n
2
::::::::::::::
となる．
参考
(3) 直接求めてもよい．a が 2i − 1 個含まれているものの総数は
(
[
])
n+1
n−(2i−1)
<
<
1=i=
n C2i−1 · (m − 1)
2
であるから
km (n) =
n+1
[∑
2 ]
n C2i−1
· (m − 1)n−(2i−1)
i=1
となる．二項定理より
(m − 1 + 1)n =
(m − 1 − 1)n =
n
∑
i=0
n
∑
n Ci
· (m − 1)n−i
n Ci
· (m − 1)n−i (−1)i
i=0
5 −⃝
6 より
⃝
km (n) =
となる．
mn − (m − 2)n
2
5
……⃝
6
……⃝
３
(1)
−
→
n = 1 に注意すると
→
−
y
2
(→
−
→
− −
→) −
→
= x −a x · n n
2
−
→
= x
2
(−
(−
→ →
− )2
→ −
→)2
− 2a x · n + a2 x · n
−
→
= x
2
(−
→ −
→)2
+ a(a − 2) x · n
−
→
······⃝
1
−
→
→
−
となる．すべてのベクトル x に対して x = y
→
−
が成り立つ条件は x
2
−
→
= y
2
より
(−
→ −
→)2
a(a − 2) x · n
=0
−
→
→
− −
→
a > 1 であることと，すべてのベクトル x に対し，常に x · n = 0 が成り立つわけではな
いので
a=2
となる．よって示された．
(2)
−
→ −
→
−
→ −
→
x · n = x n cos θ
−
→
2
= x cos θ · · · · · · ⃝
(
−
→ −
→ −
→ −
→
−
→ −
→)
y · n = x · n −a x · n
−
→
−
→
= x cos θ − a x cos θ
······⃝
3
であるから，⃝
1 ，⃝
2 ，⃝
3 より
−
→ −
→
y · n
cos ϕ = −
→ −
→
y n
→
−
−
→
x cos θ − a x cos θ
= √
−
→ 2
−
→ 2
x + a(a − 2) x cos2 θ
(1 − a) cos θ
= √
1 + a(a − 2) cos2 θ
::::::::::::::::::
となる．
４
1
+x
······ ⃝
1
x
1
について，y ′ = − 2 + 1 より，ℓ の方程式は
x
(
)
1
1
y = − 2 + 1 (x − a) + a +
a
a
(1)
C0 ：y =
より
(
ℓ：y =
−
)
1
2
+
1
x+
a2
a
······⃝
2
となる．
C ：y =
1
x
······⃝
3
と⃝
2 より，y を消去すると
(
)
1
1
2
= − 2 +1 x+
x
a
a
(
)
1
2
− 1 x2 − x + 1 = 0
2
a
a
{(
)
} {(
)
}
1
1
+1 x−1
−1 x−1 =0
a
a
······⃝
4
となるから，ℓ と C が 2 点で交わる条件は⃝
4 が x > 0 なる異なる 2 つの実数解をもつことなの
1
− 1 > 0．よって，a < 1 より，求める条件は 0::::::::
< a < 1 となる．
a
(1) より ℓ と C の交点の x 座標は
で，a > 0 にも注意すると
(2)
x=
a
a
，
1+a 1−a
である．
a
a
，
であ
1+a 1−a
る点を P，Q とし，線分 PQ の中点を M，2
C 上の点で，x 座標が
点 P，Q から x 軸へ下ろした垂線と x 軸の交
点をそれぞれ R，S とする．また，M から x
軸へ下ろした垂線と曲線 C との交点を N と
する．各点および接線 ℓ，曲線 C の位置関係
は右のようになる．
ここで，点 M，N の座標は
(
M
a
1
，
2
1−a a
)
(
，N
a
1 − a2
，
1 − a2
a
)
である．
台形 PRSQ の面積 T (a) は
PR + QS
× RS
2
(
) (
)
1 1+a 1−a
a
a
=
+
·
−
2
a
a
1−a 1+a
T (a) =
=
2a
1 − a2
であり，求める面積 S(a) は
∫
S(a) = T (a) −
=
2a
1 − a2
a
1−a
1
dx
x
a
[
] 1−a
− log x a
a
1+a
1+a
2a
1+a
=
− log
2
1−a
1−a
::::::::::::::::
となる．
(3)
⃝
3 について，y ′ = −
1
2
，y ′′ = 3 > 0 より，曲線 C は下に凸であるから，
2
x
x
(三角形 PQN の面積) < S(a) < T (a)
が成り立つ．
1
· RS · MN
2
(
)
1
a
a
=
−
·a
2 1−a 1+a
(三角形 PQN の面積) =
=
a3
1 − a2
であるから，(2) とあわせて
a3
2a
< S(a) <
1 − a2
1 − a2
が成り立つ．よって，示された．

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