8章「数値積分」章末問題の解答

「工学のための数値計算」 8 章章末問題解答例
□ 1 (1) 変数変換 x = a + sh とおくと，xj = a + jh であり，積分区間 [a, b] は [0, n] に変換される．これらを考慮する
と結果がえられる．
(2)
Z
n
wn−k = h
0
s(s − 1) · · · (s − (n − k − 1))(s − (n − k + 1)) · · · (s − n)
ds
(n − k)(n − k − 1) · · · (1)(−1) · · · (−k)
ここで，変数変換 s = n − t をすると
Z 0
(n − t)(n − t − 1) · · · (n − t − (n − k − 1))(n − t − (n − k + 1)) · · · (−t)
wn−k = h
(−1)dt
(n − k)(n − k − 1) · · · (1)(−1) · · · (−k)
Znn
(n − t)(n − t − 1) · · · (k + 1 − t)(k − 1 − t) · · · (−t)
= h
dt
(n − k)(n − k − 1) · · · (1)(−1) · · · (−k)
0
Z n
(t − n)(t − n + 1) · · · (t − (k + 1))(t − (k − 1)) · · · t
= h
dt = wk
(k − n)(k − n + 1) · · · (−1)(1) · · · k
0
□ 2 h = (b − a)/n とおくと
Tn
=
n f (a) + f (b) n−1
o
X
h
+
f (a + kh)
2
k=1
T2n
=
h n f (a) + f (b)
2
2
+
2n−1
X
k=1
n−1
n−1
o
X
h o h n f (a) + f (b) X
h
f (a + k ) =
+
f (a + kh) +
f (a + + kh)
2
2
2
2
k=1
一方中点則 Mn は
Mn = h
n−1
X
f (a +
k=0
k=0
h
+ kh)
2
であるから T2n = (Tn + Mn )/2 が成り立つ．
□ 3 (1) M1 = 2f (1) = 2/(22 ) = 0.5．M2 = f (0.5) + f (1.5) = 4/9 + 4/25 = 0.604444 . . .．M4 = 0.5{f (0.25) +
f (0.75) + f (1.25) + f (1.75)} = 0.64814 . . .．
Mn
誤差
比
n
1
0.5
0.166 . . .
2 0.6044 . . . 0.0622 . . . 0.373 . . .
4 0.6481 . . . 0.0185 . . . 0.297 . . .
誤差の比が 1/4 = 0.25 に近づいて行くことがわかる．
(2) 結果は下の表のようである．
Sn
| 誤差 |
n
1
0.7037037
比
−2
3.70 × 10
2 0.6714814 4.81 × 10−3
0.13
−4
4 0.6670976 4.31 × 10
0.089
誤差の比が 1/16 = 0.0625 に近づいて行くことがわかる．
p
1/2 = 0.7071067 . . .．|I − M1 | = 0.04044 . . .
p
p
M2 = ( 1/4 + 3/4)/2 = 0.683012 . . .．|I − M2 | = 0.01634 . . .
□ 4 M1 =
M4 = 0.672977397 . . .．|I − M4 | = 0.0063107 . . .
1
|I − M2 |/|I − M1 | = 1/2.47 . . .．|I − M4 |/|I − M2 | = 1/2.6 . . .．誤差の減少率は 1/4 より大きい．その理由は関
√
数 x の 1 階微分が積分区間 [0, 1] の端点で発散するからである．したがって中点則の誤差の公式 (8.16) が成立し
ない．
□ 5 h = (b − a)/n とおくと
Tn
=
n f (a) + f (b) n−1
o
X
h
f (a + kh)
+
2
k=1
T2n
(1)
T2n
=
=
=
h n f (a) + f (b)
2
2
o
f (a + kh/2)
2n−1
X
+
k=1
4T2n − Tn
4−1
h
n f (a) + f (b) 2n−1
o
n f (a) + f (b) n−1
oi
X
X
1
+
+
2h
f (a + kh/2) − h
f (a + kh)
3
2
2
k=1
=
k=1
n−1
n−1
i
X
X
hh
f (a) + f (b) + 4
f (a + kh + h/2) + 2
f (a + kh) = S2n
6
k=0
□ 6 変数変換 x = t + 1 により
R2
0
ex dx =
Z
1
R1
−1
k=1
et+1 dt．
et+1 dt ≈ e1−1/
√
3
+ e1+1/
√
3
= 6.3681082 · · ·
−1
誤差は 0.0209 · · · である．シンプソン則の誤差は −0.03167 · · · であるから，2 点ガウス則の方が精度がよい．
2

Download Report