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演習問題 118
エルミート行列 AH ＝
[
● エルミート行列の対角化 ( Ⅰ ) ●
1
2i
− 2i − 2
UU− 1 A H UU として対角化せよ。
ヒント！
]
を，ユニタリ行列 UU を用いて，
固有方程式を解いて， 2 つの固有値 λ 1 ，λ 2 を求め，これから 2 つの
正規直交ベクトル u1 ，u2 を求めて，そして，ユリタリ行列 UU を作ればいいんだね。
解答＆解説
T x ＝ 0 ……① ただし， T ＝ AH − λ E ＝
( AH −λ E ) x ＝ 0 ( x ≠ 0) のこと
固有方程式 T ＝
|
1 −λ
− 2i
2i
− 2 −λ
|
[
1 −λ
− 2i
]
2i
− 2 −λ
とおく。
＝ ( 1 −λ )( − 2 −λ ) − 2 i・( − 2 i ) ＝ 0
(λ − 1 )(λ ＋ 2 ) ＝λ 2 ＋ λ − 2
4
を解いて，λ 2 ＋ λ − 6 ＝ 0 (λ − 2 )(λ ＋ 3 ) ＝ 0
∴ λ ＝ 2 ，− 3
λ 1 λ 2 とおく
[ ]
α
( ⅰ ) λ 1 ＝ 2 のとき，①を T1 x1 ＝ 0 とおき， x1 ＝ 1
α2
[
2i
− 2i − 4
−1
][ ] [ ]
α1
0
α2 ＝ 0
−α 1 ＋ 2 i・α 2 ＝ 0
[
−1
ここで，α 2 ＝ k 1 とおくと，
α 1 ＝ 2k1i
[ ]
2i
(k1≠0)
1
1
ここで， k 1 ＝
とおくと， x 1 は
√5
∴ x1 ＝ k 1
正規化される。これを u 1 とおくと，
1
u1 ＝
√5
186
[ ]
2i
1
2i
− 2i − 4
][
→
−1
0
x1´ ＝
|| x ´ ||
1
2i
0
とおくと，
]}
r＝1
[ ]
2i
とおくと，
1
2
＝
t
x1´ x 1´
[
＝ 2i
1]
[ ]
− 2i
1
＝ 2 i・( − 2 i ) ＋ 1・1 ＝ 5
∴
|| x ´ || ＝ √ 5 より，
1
k1 ＝
1
√5
とおけばいい。
● 行列の対角化
[ ]
][ ][
β
( ⅱ ) λ 2 ＝ − 3 のとき，① を T2 x2 ＝ 0 とおき， x2 ＝ 1
β2
[
][ ] [ ]
2i
1
4
− 2i
[
β1
0
β2 ＝ 0
−2 i β 1 ＋β 2 ＝ 0
4
− 2i
2i
1
→
ここで，β 1 ＝ k 2 とおくと，
β 2 ＝ 2k2i
∴ x2 ＝ k 2
− 2i
− 2i
x2´ ＝
[ ]
|| x ´ ||
1
2i
2
1
→
1
− 2i
0
1
0
]}
r＝1
[ ]
1
とおくと，
2i
2
＝
t
x2´ x 2´
[
＝ 1
1
ここで，k2 ＝
とおくと， x 2 は
√5
2i]
[ ]
1
− 2i
＝ 1・1 ＋ 2 i・( − 2 i ) ＝ 5
正規化される。これを u 2 とおくと，
1
u2 ＝
√5
とおくと，
[ ]
∴
1
2i
|| x ´ || ＝ √ 5 より，
2
k2 ＝
1
√5
とおけばいい。
以上 ( ⅰ ) ，( ⅱ ) より，ユニタリ行列 UU を
1
U U ＝ [ u 1 u 2] ＝
UU− 1 A H UU ＝
[
√5
2
0
0
−3
[
]
2i 1
1 2i
]
とおくと，エルミート行列 AH は，
と，対角化される。 …………………………………… ( 答 )
UU 1 A H UU を具体的に計算して，上記の答えと一致することを確かめておこう。
−
UU ＝
∴ UU
1
√5
−1
[
− 2i
1
1
− 2i
A H UU ＝ 1
5
＝
1
5
＝
1
5
[
[
[
]
∴ UU
− 2i
1
＝ UU ＝
t
1
√5
[
− 2i
1
][ ][ ]
][ ]
][ ]
1
− 2i
− 4i
−3
2
6i
10
0
− 15
0
−1
1
2i
− 2i − 2
2i 1
1 2i
1
− 2i
]
2i 1
1 2i
＝
2
0
0
−3
となって，間違いないね。
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