第1回問題

数学演習 B 問題 (解析 1B) No.1
(解析 1A の復習)
テイラーの定理関数 y = f (x) が区間 [a, b] 上で何回でも微分可能であれば，
f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) +
f ′′ (a)
f ′′′ (a)
f (n−1) (a)
f (n) (c)
(b − a)2 +
(b − a)3 + · · · +
(b − a)n−1 +
(b − a)n
2!
3!
(n − 1)!
n!
をみたす c (a < c < b) が存在する．とくに，
f (n) (c)
(b − a)n → 0 (n → ∞) であれば，
n!
f (b) =
∞
∑
f (k) (a)
k=0
k!
(b − a)k
が成り立つ．これを f の x = a におけるテイラー展開という．a = 0 のとき，マクローリン展開という．
————————————————————–
(
)′
1-1. (1) 微分の定義に基づいて，合成関数の微分の公式 f (g(x)) = f ′ (g(x))g ′ (x) を導け．
f (g(x + h)) − f (g(x))
(Hint:
を g(x + h) − g(x) = k とおいて変形して h → 0 とした極限を考える．)
h
(2) 次の関数の導関数を求めよ．ただし，a > 0 とする．なお，(ii), (iii) は導出の過程を記述すること．
(i) f1 (x) = (2x + 5)88
(ii) f1 (x) = ax
(iii) f3 (x) = Arcsin(x) (|x| < 1)
1-2. f (x) = (x2 − 1)2 とおく．
(1) y = f (x) の極値をとる x の値と極値を求めて増減表を書き，グラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸
は調べなくてもよい．
(2) f (x) のマクローリン展開を x2 の項まで求めよ．結果を f0 (x) とするとき，|x| < 1 のときの y = f0 (x) の
グラフを (1) のグラフに重ねて点線で描け．
(3) f (x) の x = 1 におけるテイラー展開を (x − 1)2 の項まで求めよ．結果を f1 (x) とするとき，|x − 1| < 1 の
ときの y = f1 (x) のグラフを (1) のグラフに重ねて点線で描け．
1-3. (1) y = sin2 x (0 < x < π) の極値をとる x の値と極値を求めて増減表を書き，グラフの概形を描け．た
だし，グラフの凹凸も調べること．
(
π
π )2
(2) f (x) = sin2 x の x = におけるテイラー展開を x −
の項まで求めよ．
2
2
1-4. 関数 f (x) の x = a におけるテイラー展開の一次までの項の和 f (a) + f ′ (a)(x − a) を f (x) の x = a にお
ける一次近似式という．
1
(1) f (x) = (1 + x) 4 の x = 0 における一次近似式を求めよ．
(2) (1) で求めた一次近似式を用いて 1.02 の正の 4 乗根の近似値を求めよ．
(3) (2) の結果を用いて，10200 の 4 乗根の近似値を求めよ．
1-5. 次の定積分を計算せよ。
∫ ∞
(1)
xe−x dx
(2)
0
∫
∞
0
∫
1-6. 広義積分
0
1
1
dx
x2 + 2
∫
(3)
1
∞
1
dx
ex − e−x
∫
π/4
(4)
tan x dx
0
1
dx が収束するための正の定数 a に対する条件を求め，そのときの積分の値を求めよ．
xa

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