MARCH解説プリント

MARCH 解説 NO.1
立教
三角形 ABC において、各辺の長さをそれぞれ AB= x，AC= y ，BC= z とおき、∠ BAC= θ とおく。
また x，y ，z は x + y + z = a，xy = z を満たすものとする。ただし、a は正の実数である。このとき、
以下の問いに答えなさい。
(1) cos θ を a と z の式で表しなさい
(2) x + y と xy をそれぞれ a と cos θ の式で表しなさい
(3) θ = π のとき、a のとり得る値の最小値を求めなさい。また、そのときの x，y ，z を求めなさい。
3
2011
名前
MARCH 解説 NO.2
青山学院
赤玉 7 個と白玉 5 個を A，B，C の 3 つの箱に入れる。
(1) 赤玉 7 個だけを 3 つの箱に入れるとき、入れ方は何通りありますか。ただし、玉が入らない箱があっ
てもよい。
(2) 赤玉 7 個と白玉 5 個を 3 つの箱に入れるとき、入れ方は何通りありますか。ただし、玉が入らない箱
があってもよい。
(3) どの箱にも 1 個以上の玉を入れるとき、赤玉 7 個と白玉 5 個を 3 つの箱へ入れるような入れ方は何通
りありますか。
2012
名前
MARCH 解説 NO.3
青山学院
k を正の定数とし、x，y を実数とする。
(1) 不等式 y ≦ − x2 + 1 の表す領域を図示しなさい。
(2) k = 1 のとき、不等式 x + y ≦ k の表す領域を図示しなさい。
(3) 命題「 y ≦ − x2 + 1 ならば x + y ≦ k 」が真であるための必要十分条件を k の不等式を用いて表
しなさい。
2012
名前
MARCH 解説 NO.4
名前
法政
−→ −
→ −→ −
→
三角形 ABC において、CA=CB=3，AB=4 である。また、CA = a ，CB = b とおく。
(1) cos ∠ BCA を求めなさい。また、三角形 ABC の外接円の半径 R も求めなさい。
−
→ −
→
(2) a と b の内積を求めなさい。
(3) 点 C を通り直線 AB に直交する直線 ` と AB の交点を M、点 B を通り直線 CA に直交する直線と `
−−→ −→
−
→ −
→
の交点を H とする。CM と CH をそれぞれ a ， b を用いて表しなさい。
(4) 三角形 ABC の外心を O とするとき、OH の長さを求めなさい。
2012
MARCH 解説 NO.5
名前
法政
p，q を定数とする。f (x) = x2 − 2p x + 3 · 2q とし、2 次方程式 f (x) = 0 の 2 つの解を α，β とおく。
√
√
(1) α = 2，β = 3 2 のとき、p，q の値を求めなさい。
(2) p = q + 1，α = β のとき、p，α の値を求めなさい。
(3) 3 次関数 y = xf (x) が極値をもつのは、2p − q > log2 のときである。
Z
(4) S =
3
f (x) dx とおく。p，q を整数とすると、S = 0 となるときの p，q の値を求めなさい。
0
2012
MARCH 解説 NO.6
名前
法政
数列 {an } は、a1 = 5 であり、n が偶数のときは an −an−1 = 3，n が 3 以上の奇数のときは an −an−1 = n
を満たしているとする。
(1) a5 ，a8 を求めなさい。
(2) m を自然数として、n = 2m − 1 とおく。m ≧ 2 のとき、an − an−2 を m を用いて表しなさい。また、
an も m を用いて表しなさい。
(3) m を自然数として、n = 2m とおく。m ≧ 2 のとき、an を m を用いて表しなさい。
(4) an ≧ 900 となるような n の最小値を求めなさい。
(5) m を自然数とする。
2m
P
n=1
an を求めなさい。
2012
MARCH 解説 NO.7
名前
法政
t を正の定数とする。曲線 y = x3 − x を C ，C 上の点 P(t, t3 − t) における接線を ` とする。
(1) 接線 ` の方程式を t を用いて表しなさい。
(2) C と ` の、P 以外の共有点を Q とするとき、Q の x 座標を t を用いて表しなさい。また、Q における
C の接線を m とするとき、m の方程式を t を用いて表しなさい。
(3) C と m の、Q 以外の共有点を R とするとき、R の x 座標を t を用いて表しなさい。
−→ −→
また、QP · QR を t を用いて表しなさい。
−→ −→
QP · QR
(4) f (t) =
とおく。f (t) の最小値とそのときの t の値を求めなさい。
18t6
2012
MARCH 解説 NO.8
名前
立教
自然数 n に対して、整式 fn (x) を次のように定める。
f1 (x) = 4x(1 − x)
fn (x) = f1 (fn−1 (x)) (n ≧ 2)
たとえば、f2 (x) = f1 (f1 (x))，f3 (x) = f1 (f1 (f1 (x))) である。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) 方程式 f1 (sin2 θ) = 0 が 0 ≦θ≦ π の範囲にもつ解をすべて求めなさい。
2
(2) f1 (sin2 θ) = sin2 (aθ) となる正の数 a を求めなさい。
(3) f2 (sin2 θ) = f1 (sin2 (bθ)) となる正の数 b を求めなさい。
(4) 正の数 an によって fn (sin2 θ) = sin2 (an θ) と表すことができる。a2 ，a3 を求めなさい。
(5) 方程式 fn (sin2 θ) = 0 が 0 ≦θ≦ π の範囲にもつ解の個数を n で表しなさい。
2
2012
MARCH 解説 NO.9
名前
立教
曲線 y = x3 − x を C1 とし、放物線 y = x2 + ax + b を C2 とする。また、放物線 C2 の頂点の座標は
(t, −t2 ) である。このとき、以下の問いに答えなさい。
(1) 関数 f (x) = x3 − x の極値を求めなさい。
(2) a を t で表しなさい。
(3) 曲線 C1 と放物線 C2 が異なる共有点をちょうど 2 個もつ t の値が 2 つある。それらの値 t1 ，t2 (t1 < t2 )
を求めなさい。
(4) t = t1 のとき、曲線 C1 と放物線 C2 によって囲まれた領域の面積を求めなさい。
2012
MARCH 解説 NO.10
名前
明治
f (x) = 1 x2 − 3x − 1 + x2 − 2x − 3 とおく。
2
(1) 不等式 x2 − 2x − 3 ≦ 0 を解きなさい。
(2) 方程式 f (x) = 0 の実数解をすべて求めなさい。
(3) 関数 y = f (x) の定義域を −2 ≦ x ≦ 5 とするときの値域を求めなさい。
2012

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