ｽﾗｲﾄﾞﾀｲﾄﾙなし

2006. 12. 19
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
重積分（２）
重積分
本日は「重積分」について二つの例
題を出します。
重積分の具体的計算法（２）
•Case 2 縦線集合
D  ( x, y) | a  x  b, 1 ( x)  y  2 ( x)
y
D
y   2 ( x)
y  1 ( x)
0
a
b
x
y
Case 2 （縦線領域）
y   2 ( x)
D
y  1 ( x)
この場合、
0
a
b
まず f ( x, y )を y のみの関数と見て1 ( x) から

まで積分し、その積分の結果を今度は
に
2 ( x)
x
ついて区間[a,b]上で積分する。
つまり、

D
f ( x, y )dxdy  
b
a

2 ( x )
1 ( x )

f ( x, y )dy dx
x
Case 2 （縦線領域）
 
b
a
2 ( x )
1 ( x)

b
2 ( x )
a
1 ( x )
f ( x, y )dy dx   dx 
f ( x, y )dy
b
これは、  dx を
a
「 x について a から b まで積分せよ」
という命令記号（作用素）
重積分のイメージ
z
y
D
x
断面積を積分していく
例7.2 （p.164）
xy-平面上 y  0,
とするとき、
D
重積分
y

D
y  x, x  1 で囲まれた閉領域を
( x  y )dxdy の値を求めよ。
2
yx
D
0
1
x
例7.2 （p.164）
Dは縦線集合として表すことができ、
D  ( x, y) | 0  x  1, 0  y  x

D
1
x
0
0
( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy
2
2
yx
1 3

  dx  xy  y 
0
3  y 0

1
 2 x3 
  dx x  
0
3

1
1
5
x
x 
   
 3 12  0 12
3
4
重積分の具体的計算法（３）
•Case 3 横線集合
D  ( x, y) | 1 ( y)  x   2 ( x), c  y  d 
y
y   1 ( x)
d
y   2 ( x)
D
c
0
x
Case 3 （横線領域）
y
d
y   1 ( x)
y   2 ( x)
D
c
x
0

D
d
 2 ( y)
c
1 ( y)
f ( x, y )dxdy   dy 
f ( x, y )dx
重積分のイメージ
z
y
D
x
断面積を積分していく
例7.3 （p.166）
1

0
1
dx  e dy の値を求めよ。
y2
x
y
1
yx
D
0
x
例7.3 （p.166）
Dは横線集合として表すことができ、
D  ( x, y) | 0  y  1, 0  x  y
1
1
0
x
 dx  e
y2
1
y
dy   dy  e dx
0
1
y2
0
 
  dy xe
0
1
y2
  ye dy
y2
0
x y
x 0
 
 y2 

y2
e

2
y

e
なので




e 1
 1 y2 
 e  
 2 0
2
1
本日の課題
１）閉領域D  ( x, y) | 0  x  1, 0  y  2 xにおける、
重積分

D
( x  y)dxdy を求めよ。
２）閉領域 D  ( x, y) | x  0, y  0, x  y  1 における、
重積分  ( x 2  y 2 )dxdyを求めよ。
D

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