電磁気学 2 秋学期小テスト問題第 2 回 2014/10/16 解答 1. (a) 表面を

電磁気学 2
秋学期小テスト問題
第 2 回 2014/10/16 解答
各レポートの問題と解答は
http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/˜ishizuka/Link/gakumu.html
にあります。
1. (a) 表面を以下の 4 つの面に分割する。
S1
S2
S3
S4
x = 0, yz-平面
y = 0, zx-平面
z = 0, xy-平面
斜面
:
:
:
:
(1)
∫
それぞれの面での寄与
⃗ · ⃗n
dS A
Ij =
(2)
Sj
を計算する。
• S1 : ( x = 0 , yz-平面 )
⃗n = (−1, 0, 0) ,
∫
∫
4
I1 =
⃗ · ⃗n = −18z
A
−y/2+2
dy
0
∫ 4
=
0
dz (−18z)
0
[
]−y/2+2
dy −9z 2 0
=
∫
[
]
dy −9y 2 /4 + 18y − 36 = −48
4
(3)
0
• S2 : ( y = 0 , zx-平面 )
⃗ · ⃗n = 12
⃗n = (0, −1, 0) , A
∫
I2 =
dS · 12 = 72
(4)
S2
• S3 : ( z = 0 , xy-平面 )
⃗n = (0, 0, −1) ,
∫
∫
6
I3 =
−2x/3+4
dx
0
∫ 6
=
0
⃗ · ⃗n = −3y
A
dy (−3y)
0
[
]−2x/3+4
dx −3y 2 /2 0
=
∫
4
[
]
dx −2x2 /3 + 8x − 24 = −48
0
• S4 : ( 斜面 )
⃗n = (2, 3, 6)/7 ,
⃗ · ⃗n = (36z − 36 + 18y)/7 ,
A
1
⃗n · ⃗ez = 6/7
(5)
∫
∫
⃗ · ⃗n =
dS A
I4 =
∫ S4
dxdy
S3
1 ⃗
A · ⃗n
|⃗n · ⃗ez |
dxdy (6z + 3y − 6)
=
S3
( z = 2 − x/3 − y/2 on S4 )
∫
dxdy (6 − 2x)
=
S3
∫
∫
6
=
−2x/3+4
dx
0
∫
dy (6 − 2x)
0
6
dx (6 − 2x) · (2x/3 + 4) = 24
=
(6)
0
よって、
I = I1 + I2 + I3 + I4 = −48 + 72 − 48 + 24 = 0
(7)
(b)
⃗ ·A
⃗=0
∇
よって体積積分は 0 であり、(a) と一致している。
2
(8)
2. (a) 円柱の表面を以下の 4 つの面に分割する。
S1
S2
S3
S4
上面
下面
側面で y > 0 の面
側面で y < 0 の面
:
:
:
:
(9)
∫
それぞれの面での寄与
⃗ · ⃗n
dS A
(10)
⃗ · ⃗n = z 2 = 1
⃗n = (0, 0, 1) ,∫ A
I1 = dS = π
(11)
Ij =
Sj
を計算する。
• S1 : ( z = 1 , xy-面 )
• S2 : ( z = 0 , xy-面 )
⃗n = (0, 0, −1) ,
I2 = 0
⃗ · ⃗n = −z 2 = 0
A
(12)
• S3 : 円柱側面 , y > 0
⃗ · ⃗n = 4x2 − 2y 3
A
⃗n = (x, y, 0) ,
∫
∫
⃗ · ⃗n
A
⃗
I3 =
dS A · ⃗n =
dxdz
|⃗ey · ⃗n|
S3 (
R
)
R : S3 の y = 0 への射影
∫
=
4x2 − 2y 3
|y|
(y=
dxdz
4x2 − 2y03
y0
( y0 =
R
∫
=
√
1 − x2 > 0 )
dxdz
R
√
1 − x2 > 0 )
(13)
• S3 : 円柱側面 , y < 0
⃗ · ⃗n = 4x2 − 2y 3
A
⃗n = (x, y, 0) ,
∫
∫
⃗ · ⃗n =
dS A
I4 =
∫
S4
∫
4x − 2y
|y|
√
( y = − 1 − x2 < 0 )
dxdz
4x2 + 2y03
y0
( y0 =
R
=
R
3
⃗ · ⃗n
A
|⃗ey · ⃗n|
dxdz
2
=
dxdz
R
3
√
1 − x2 > 0 )
(14)
I3 + I4 を計算する。
( 2
)
∫
4x − 2y03 4x2 + 2y03
I3 + I4 =
dxdz
+
y0
y0
R
∫
8x2
=
dxdz
y0
R
∫ 1
∫ 1
8x2
=
dx
dz √
12 − x2
−1
0
∫ 1
x2
= 8·
dx √
1 − x2
−1
( y0 =
√
1 − x2 > 0 )
( x = sin θ , dx = dθ cos θ )
∫
= 8·
π/2
dθ sin2 θ
−π/2
∫
= 8·
π/2
dθ (1 − cos 2θ)/2
[
0
]θ=π/2
= 8 · θ/2 − sin(2θ)/4
θ=−π/2
= 4π
(15)
よって、
I = I1 + I2 + I3 + I4 = 5π
4
(16)
[ I3 + I4 の計算の別解 ]
半径 = 1 の円柱の表面 S3 + S4 は円柱座標で以下の様に表すことができる。
( θ = [π, −π] , z = [0, 1] )
x = cos θ , y = sin θ , z = z
(17)
この座標を使うと任意関数 F (⃗r) の S3 + S4 上の面積分は以下で書ける。
∫
∫
dS F (⃗r) =
S3 +S4
∫
1
dz
0
2π
dθ F (⃗r)
(18)
0
従って、
∫
⃗ · ⃗n
dS A
I3 + I4 =
S3 +S4
{
∫
∫
1
=
⃗ · ⃗n = (4x, −2y 2 , z 2 )(x, y, 0) = (4x2 − 2y 3 )
A
= (4 cos2 θ − 2 sin3 θ)
π
dz
−π
0
∫
(
)
dθ 4 cos2 θ − 2 sin3 θ
(
)
dθ 4 cos2 θ − 2 sin3 θ
−π (
)
sin3 θ : 奇関数
∫ π
=
dθ 4 cos2 θ
−π
∫ π
= 4·
dθ(1 + cos 2θ)/2
π
=
[
−π
]θ=π
= 4 · θ/2 + sin(2θ)/4
−π
= 4π
(19)
5
(b)
⃗ ·A
⃗ = ∂x Ax + ∂y Ay + ∂z Az = 4 − 4y + 2z
∇
よって、
∫
(20)
∫
⃗ ·A
⃗=
dr ∇
dr3 (4 − 4y + 2z)
3
V
∫
∫
1
=
V
dxdy (4 − 4y + 2z)
dz
∫
( D : z = 0 の半径 = 1 の円内 )
D
0
dxdy (5 − 4y)
=
D
(
)
被積分関数 y は、y の奇関数なので積分に寄与しない
∫
=5
dxdy
D
= 5π
(21)
よって体積積分は、(a) と一致している。
6

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