コーシーの積分定理の証明（専門的すぎないアプローチ） §0 目標と方針

コーシーの積分定理の証明（専門的すぎないアプローチ）
§0 目標と方針
以下，曲線はすべて区分的になめらかなものとし，いちいちそれを断らない。
「単純閉曲線」
・・・自分自身と，交わったり接したりしない閉曲線。
「D 上の正則関数」・・・D 上で定義され，D の各点において複素微分可能な関数。
（ただし D は複素平面における開集合とする）
コーシーの積分定理(→注 1)
Γ : 複素平面内の単純閉曲線
f (z) : Γ で囲まれる部分の近くで正則
⇒ ∫Γ f ( z) dz = 0
・・・(1)
f が正則な領域
（破線の内側）
Γ ( 実線 )
Γ で囲まれる部分
( 境界は当面含めない )
(以下の方針)
コーシーの積分定理を，このまま完全な姿で証明できれば，すっきりして言うことなしである。
しかし，数学の専門的訓練の裏づけがないと，それはむずかしい。
"あらゆる単純閉曲線"を論じるには，感覚的な推論だけでは限界があるのだ。
また，実用上考えなければならない単純閉曲線はごく限られているので，
あまり大げさな一般論は避けたい。
だから，われわれ（筆者と読者のことですよ）は，完全な証明を目指さないで，
容易なケースを主体にして，あまり専門的にならずにできる範囲でやってみたい。
§1 で，まず扱いやすいケースを証明する。（→注 2,3）
この部分が本質的である。ここまででも十分かもしれない。
§2 で，より一般的なケースへと拡張する方法を，例で説明する。。
それにより，コーシーの積分定理はつねに成り立ちそうだ，という感じが得られると思う。
§3 で，上述のコーシーの積分定理をすこし控えめにした命題を立て，証明を与える。
われわれに必要なケースはすべてカバーできるので，論理的な不備はないはずである。
それどころか，ほんのひと手間加えるならば，証明を完成させることさえできる。
それをしないのはもったいないが，もう十分と思われるので，あえてしない。
(注 1) コーシーの積分定理というとき，つぎの仮定で述べられることもある。
D : 複素平面内の単連結領域
←直感的にいえば，穴のない領域のこと
f (z) : D 上の正則関数
Γ : D 内の閉曲線
←単純閉曲線に限定しない
このほうが適用範囲がすこし広い。しかし，さほどの隔たりはない。
(注 2) この扱いやすいケースにおいて，われわれは "グリーンの公式" を導き，
"グリーンの公式" と "コーシー・リーマンの方程式" から，(1)を導く。
もしグリーンの公式を既知とするなら，コーシーの積分定理は直ちに得られる。
(注 3) なお，以下の議論全体は，ほとんどそのままで，グリーンの公式に対する
"ほぼ完全" な証明に読み直すことができる。
→ 補足 2 を参照
§1 本質部分の証明
いちいち断らなくても，つぎの前提で考える :
・ Γ は（区分的になめらかな）単純閉曲線
・単純閉曲線の向きは，特に断らないときは左回り
・ D は Γ で囲まれる部分（境界を含めない）
・ u(x, y) 等は D の近くで定義された関数で，1 階偏導関数が連続.
実数値関数を用いて f (z ) = u( x , y)+i v( x , y)
∫Γ f dz = ∫Γ (u+i v)(dx+i dy)
=
(∫
Γ
( z = x+i y ) と表すとき，
dx や dy については
u dx − ∫Γ v dy ) + i ( ∫Γ u dy + ∫Γ v dx
)
補足 1 を参照
・・・(2)
ゆえに(1)は，つぎの(3)かつ(4)と同等である。
∫Γ u dx − ∫Γ v dy = 0 ・・・(3)
∫Γ u dy + ∫Γ v dx = 0 ・・・(4)
ここでいったんコーシーの積分定理からはなれて，線積分
∫Γ u dx
等を変形してみる。
扱いやすいケースとして，Γ が図のように
x=a , x=b , y=ϕ1 ( x ) , y=ϕ2 ( x)
の各部分からなるとき，
b
b
∫Γ u dx = −∫a u( x , ϕ2 ( x ))dx + ∫a u ( x , ϕ1 ( x )) dx (→注 4)
y=φ2(x)
b
= −∫a {u( x , ϕ2 ( x ))−u( x , ϕ1( x))}dx
b
= −∫a
(∫
ϕ (x)
2
ϕ1( x)
)
∂u
( x , y ) dy dx (→注 5)
∂y
x=a
x=b
y=φ1(x)
∂u
= −∬D
( x , y)dxdy
∂y
(注 4) x が一定の部分では dx=0 .
(注 5) 一時的に x を定数と考えて， y 1=ϕ1 (x ) , y 2=ϕ2 ( x) とおくとき
y 2 ∂u
u ( x , y 2 )−u (x , y 1) = ∫y
( x , y ) dy
1 ∂ y
一方，Γ が図のように
y=c , y=d , x=ψ1 ( y)
x=ψ2 ( y )
y=d
の各部分からなるとき，上と同様にして
d
d
x=ψ1(y)
∫Γ u dy = ∫c u(ψ2 ( y ) , y)dy − ∫c u ( ψ1( y) , y ) dy
x=ψ2(y)
d
ψ ∂u
= ∫c ∫ψ 2
( x , y ) dx dy
1 ∂x
y=c
∂u
= ∬D
(x , y ) dxdy
∂x
(
)
ところで，Γ はどんな形状であればよいのだろうか。
あれこれ考えてみると，つぎの条件(C1),(C2)に落ち着くであろう。
(C1) 虚軸(y 軸)に平行な直線と Γ の共有点は高々 2 点である。
（ただし，左右の両端は除く。）
(C2) 実軸(x 軸)に平行な直線と Γ の共有点は高々 2 点である。
（ただし，上端と下端は除く。）
以上をまとめると
∂u
Γ が(C1)を満たすとき
∫Γ u dx =−∬D ∂ y dxdy
・・・(5)
Γ が(C2)を満たすとき
∫Γ u dy = ∬D ∂ x dxdy
・・・(6)
∂u
ただし u ( x , y ) は，（1 階偏導関数が連続な）任意の関数である。
(注) (5),(6)は「グリーンの公式」といい，本当は Γ が任意の単純閉曲線のとき成り立つ。
→補足 2 を参照
さて，コーシーの積分定理に戻ろう。われわれはつぎを得る。
命題 1 : コーシーの積分定理(発展途上型)
Γ : 複素平面内の単純閉曲線で，(C1),(C2)を満たす
f (z) : Γ で囲まれる部分の近くで正則
⇒ ∫Γ f ( z) dz = 0
(証明) 公式(5),(6)を u や v の線積分に用いると，(3),(4)の左辺はそれぞれ
∫Γ u dx − ∫Γ v dy = −∬D ∂∂ uy + ∂∂ vx dxdy ・・・(7)
∫Γ u dy + ∫Γ v dx = ∬D ∂∂ ux − ∂∂ vy dxdy ・・・(8)
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
f が正則関数のとき，
,
(コーシー・リーマンの方程式)
∂x ∂ y
∂y
∂x
であるから，(7),(8)はともに 0 となり，(3),(4)が成り立つ。(証明終)
(
(
)
)
これで，コーシーの積分定理の証明の本質部分は終わったことになる。
ただし，われわれが必要とするものに限っても，このままでは適用できないケースがある。
そのあたりを，次節以下で考えていきたい。
(蛇足) 正則とは限らない複素関数
f (z ) = u( x , y)+i v( x , y) ( z= x+i y )
に対して，(2),(7),(8)より
∂v
−
∫Γ f dz = ∬D − ∂∂ uy + ∂∂ vx + i ∂u
∂x ∂ y
[(
) (
)] dxdy
(→補足 2)
が導かれる。
条件(C1),(C2)の役割について
命題 1 では(C1),(C2)を仮定したが，これらは命題の結論を成り立たせるためというよりも，
成り立つかどうかを調べるための仮定であった。具体的にいえば，式(3),(4)に現れる線積分を
書きなおすために用いただけである。
※こういうのを「技術的な仮定」という。
次節以下では，命題 1 を手がかりにして，(C1),(C2)が成り立たないケースを攻略していく。
§2 命題 1 の拡張の例
前節の(C1),(C2)を満たす例は多い。
・広義の凸曲線（三角形，円の切片などを含む）
・その他，図のような種々の閉曲線
他方，(C1),(C2)を満たさないような閉曲線でも，
うまく工夫して命題 1 を適用する方法がある。。
例 1 図のような単純閉曲線 Γ = APBCQD を考える。
Γ は(C2)を満たさないので，そのままでは命題 1 を適用できない。
そこで，P と Q の 2 点で Γ を分割し，線分 L = PQ を補って
2 つの閉曲線 Γ1 = APQD , Γ2 = PBCQ を作るとき，
∫Γ f ( z)dz = ∫Γ f (z ) dz + ∫Γ f (z ) dz
1
Γ
P
Γ2
L
Q
2
C
D
B
となる。なぜなら，右辺において，線分 L 上の積分は両方向に
1 回ずつ現れるので打ち消しあい，残りが Γ 上の積分に一致するからである。
このとき， Γ1 と Γ2 はともに(C1),(C2)を満たす。ゆえに命題 1 より，Γ で囲まれる部分の
近くで f が正則であるならば ∫Γ f dz = 0 が成り立つ。
Γ1
A
例 2 (単純閉曲線 Γ が折れ線の場合)
Γ で囲まれる部分を有限個の三角形に分割し，それらの周を
それぞれ Γ1 ,⋯, Γ n とする。このとき
・・・(9)
∫Γ f dz = ∑ ∫Γ f dz
j
j
が成り立つことを，以下に示そう。
右辺に現れる積分経路は，つぎの 2 種の線分に分けられる。
(a) Γ の一部であるもの， (b) 2 つの三角形の境界であるもの
このうち(b)に属する線分上では，両方向に 1 回ずつ積分されるので，和は 0 である。
ゆえに(a)のみ考えればよいので，左辺に一致し(9)が成り立つ。
各 Γj は三角形なので(C1),(C2)を満たす。したがって，f が正則であるならば，
(9)と命題 1 より ∫Γ f dz = 0 を得る。
つぎの例は，そもそもコーシーの積分定理の範囲外であるが，それほど違いはない。
例 3 (穴のあいた円)
円 C1 の内部に円 C2 があるとし，はさまれた部分を D とする。
図のように閉曲線 Γ1 , Γ2 , Γ3 , Γ4 を作れば
∫C
1
f dz − ∫C f dz =
2
4
∑ ∫Γ
j=1
f dz
C2
j
各 Γj は(C1),(C2)を満たすので，D の近くで正則な f に対して
∫C f dz − ∫C f dz = 0 ∴ ∫C f dz = ∫C f dz
1
2
1
2
(注) C2 の内側（穴の部分）では f (z) が正則と仮定していない。
したがって，一般には ∫C f dz = ∫C f dz ≠ 0 である。
1
Γ1
Γ2
2
Γ3
Γ4
C1
§3 ほぼコーシーの積分定理
前節の内容の一般化を試みる。
ここでは，正式ではないつぎの用語を使う。（だいたい通じると思う。）
用語（一般の）曲線 Γ に対して
Γ が「右上がり」 ⇔ Γ 上の任意の（相異なる）2 点(x1 ,y1),(x2 ,y2)に対して
(x1<x2 かつ y1<y2) または (x1>x2 かつ y1>y2)
Γ が「右下がり」 ⇔ Γ 上の任意の（相異なる）2 点(x1 ,y1),(x2 ,y2)に対して
(x1<x2 かつ y1>y2) または (x1>x2 かつ y1<y2)
Γ が「単調」 ⇔ Γ が右上がりまたは右下がり
(注) つぎの同値関係が成り立つ :
Γ が単調 ⇔ 座標軸に平行な直線と Γ の共有点は高々１個
命題 2 : ほぼコーシーの積分定理
Γ : 線分または単調な曲線を，高々有限個つなげて作られる単純閉曲線
f (z) : Γ で囲まれる部分の近くで正則
⇒ ∫Γ f ( z) dz = 0
鋭角な折り返し
(証明) Γ で囲まれる部分を D で表す。
選んだ曲線部分
Γ に線分以外の単調な曲線部分があれば，ひとつ選ぶ。
座標軸に平行な線分（図の破線）で D を分割することにより，
この曲線部分を切り離す。
ただし，この曲線部分の端が鋭角な折り返しである場合は，
図のように折り返し部分ごと切り離すことにする。
(注) ここで「鋭角な折り返し」というのは，折り返し点を原点と
考えたとき，Γ や D が折り返し点付近でひとつの象限に
含まれることを表す。
残った部分が多角形になるまで，この操作をくりかえす。（有限回で終わる。）
最後に残った多角形を，有限個の三角形に分割する。
すると，分割されてできた各々の図形の周囲は，線分または単調な曲線を
3 本つなげた単純閉曲線であるから，(C1),(C2)をみたす。
したがって，あとは前節の例 2 と同様である。(証明終)
命題 3 (われわれがよく用いるケース)
Γ : 線分または円弧を，高々有限個つなげて作られる単純閉曲線
f (z) : Γ で囲まれる部分の近くで正則
⇒ ∫Γ f ( z)dz = 0
(証明) 任意の円弧は，高々 4 本の単調な曲線をつなげて作られる。
したがって命題 2 を適用できる。
(証明終)
ここでは述べないが，命題 2,3 を拡張して，前節の例 3 のように穴があいているケースに
ついても，同様の命題が同じ論法で証明できる。（穴は複数個でもよい。）
[補足 1 : 線積分]
設定
Γ : 複素平面内の，区分的になめらかな曲線
（向きが定められているとする）
f (z) : Γ 上で定義されている連続関数
zn
線積分の定義
Γ の向きに沿って，つぎのような細かな分点を設ける :
z 0 , z 1 , z 2 ,⋯ , z n
( z k =x k +i y k )
z0
z1
Γ
z2
・・・・・・・
・
・
・
・
・
始点
終点
また，各 k に対し，zk-1 と zk の間の Γ 上に ζ k を任意にとる。
そこで，各種の線積分を，つぎのように定義する :
∫Γ
n
※ 右辺は分割を限りなく細かくするときの
極限を表す。（必ず収束する。）
f ( z) dx = lim ∑ f (ζ k )( x k − x k−1)
k=1
n
∫Γ f ( z) dy = lim ∑
k=1
n
f (ζ k )( y k − y k −1 )
∫Γ f ( z) dz = lim ∑ f (ζ k)( z k −z k −1)
k =1
パラメータ t によって, Γ= { z (t) : a≤t≤b } , z (t )=x (t)+i y( t) と表されるとき，
上の線積分はそれぞれつぎの式で表される。これを定義と考えてもよい。
b
∫Γ f ( z) dx = ∫a
b
∫Γ f ( z) dy = ∫a
b
∫Γ f ( z) dz = ∫a
dx
dt
dt
dy
f (z (t)) dt
dt
dz
f ( z (t)) dt
dt
f (z (t))
※省略形（あるいは象徴的表現）で
dx =
dx
dy
dz
dt , dy =
dt , dz =
dt
dt
dt
dt
と表すことがある。
(注) 複素平面でなく x-y 平面でも，dx や dy については同じように考えればよい。
すなわち，上の zk や ζ k を，それぞれ (xk , yk) や (ξ k , η k) 等で置き換えればよい。
(性質 1) 容易にわかるように
∫Γ f ( z) dz = ∫Γ f ( z)dx+i ∫Γ f ( z)dy
（このことを dz =dx+i dy と表す。）
(性質 2) 曲線 Γ が y=ϕ( x) , a≤ x≤b と表されるときは
Γ = {( x , ϕ( x)) : a≤x≤b } (ただし x=a の方を始点とした)
であるから
b
∫Γ u( x , y)dx = ∫a u (x , ϕ( x)) dx
つまり， x の関数として普通に積分すればよい。
[補足 2 : グリーンの公式 + α ]
断らなくてもつぎの前提で論じる :
Γ : x-y 平面（または複素平面）内の単純閉曲線
D : Γ で囲まれる部分
u(x, y) 等は，D の近くで定義され，1 階偏導関数が連続な実数値関数
つぎの事実が成り立つ。
(グリーンの公式)
∂u
∫Γ u dx =−∬D ∂ y dxdy
,
∂u
∫Γ u dy = ∬D ∂ x dxdy
・・・(10) (再出)
また，グリーンの公式より，正則とは限らない複素関数に関してつぎが導かれる。
(拡大版？コーシーの積分定理)
複素関数 f (z ) = u( x , y) + i v (x , y ) ( z= x+i y ) に対して
∂v
−
dxdy
∫Γ f dz = ∬D − ∂∂ uy + ∂∂ vx + i ∂u
∂x ∂ y
[(
) (
)]
・・・(11) (再出)
われわれは §1 で，Γ についての条件(C1),(C2)のもとで，(10)や(11)を証明した。
さらに，§2 および §3 と同様の議論を行えば，そこでの各ケースにおいて
(10),(11)を導くことができる。
例　ここでは，例 1 の Γ に対して，(10)の第１式を導いてみよう。
Γ1 , Γ2 のそれぞれで囲まれる部分を D1 , D2 とする。
Γ1 , Γ2 が(C1),(C2)を満たすことに注意すれば，
∫Γ u dx = ∫Γ u dx + ∫Γ u dx
1
(∬
=−
Γ
2
= − ∬D
)
∂u
∂u
dxdy + ∬D
dxdy
∂y
2 ∂ y
∂u
dxdy
(例終)
∂y
D1
Γ2
・同様に，(10)の第 2 式や(11)も導かれる。（(11)は(10)から導いてもよい。）
・また，例 2,3 や命題 2,3 のケースも同様である。
（ただし，例 3 の場合では，(10),(11)の左辺を ∫C −∫C の形にする。）
1
2
Γ1

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