2015 年度慶應義塾大学総合政策学部（数学）解答解説;pdf

2015 年度慶應義塾大学総合政策学部（数学）解答解説
Ⅰ 解答・解説
(3) (4)
(1) (2)
1
1
6 sin B ＋ 1 5 sin D
(1) F ＝ ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ sin B ＋ ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ sin D ＝ 0
2
2
2
2
2
よって， F ＝ 36 sin B ＋ 225 sin D ＋180 sin B sin D …①
また AC ＝ x とおくと余弦定理より，
x 2 = 9 + 16 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cos B ＝ 25 − 24 cos B ， x 2 ＝ 36 + 25 − 2 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ cos D ＝ 61 − 60 cos D
辺々を引いて， 0 ＝ − 36 − 24 cos B ＋ 60 cos D よって， 6 cos B − 15 cos D ＝ − 9
2
2
辺々を 2 乗して， 36 cos B ＋ 225 cos D －180 cos B cos D ＝ 81 …②
①②より， F + 81 ＝ 36 + 225 − 180 (cos B cos D − sin B sin D )
2
(5) (6) (7)
2
F ＝
よって
8
1
0
(8) (9) (10)
−
8
1
0
B + D ＝ π のとき， F は最大値
cos (B + D )
360 ＝ 6
(≧ 0 )
1
0
をとる
(11) (12)
(2) 球が全ての辺と 1 点で接する場合を求めればよい
右図のように BC の中点を M ， AD の中点を N とする
A
対称性より，球の中心 O は MN 上にある
AM ＝ MD ＝ 3 ， AN ＝ 3 ， MN ＝ 32 −
OM ＝ ON なので，球の半径は
( 3)
2
＝ 6
N
O
6
2
B
D
M
C
3
求める球の体積は
4 ⎛ 6⎞
⎟ ＝ 1
π⎜
3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
(13)
6
π
(14)
Ⅱ 解答・解説
1
ⅰ) a < −
のとき， S (a ) ＝ 0
2
1
ⅱ) − ≦ a <
2
0
(19)
(15)
1⎛
1⎞
1⎞
⎛
のとき， S (a ) ＝ ⎜ a + ⎟ ⋅ 3 ⎜ a + ⎟ ＝
2⎝
2⎠
2⎠
⎝
3
(17)
⎛
⎜⎜ a +
⎝
2
(16)
1
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
(18)
(22)
(20)
ⅲ)
3
1
3 1⎛1
1
⎞
⎛1
⎞
− ⎜ − a⎟ ⋅ 3 ⎜ − a⎟ ＝
のとき， S (a ) ＝ ⋅ 1 ⋅
0 ≦a <
2
2 2⎝2
2
⎠
⎝2
⎠
(19)
(21)
4
3⎛
⎜a −
−
2 ⎜⎝
3
1
3 1⎛
1⎞
1⎞
⎛
− ⎜a − ⎟⋅ 3 ⎜a − ⎟ ＝
1 のとき， S (a ) ＝ ⋅ 1 ⋅
2
2 2⎝
2⎠
2⎠
⎝
(24)
4
(21)
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
(23)
(20)
1
≦a <
ⅳ)
2
1
(22)
3⎛
⎜a −
−
2 ⎜⎝
1
2
(23)
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(25) ⎞ 2
⎛
⎜
3 ⎟
1⎛3
3
⎞
⎛3
⎞
3⎜
⎟
ⅴ) 1 ≦ a <
のとき， S (a ) ＝ ⎜ − a ⎟ ⋅ 3 ⎜ − a ⎟ ＝
a−
⎜
⎟
2
2⎝2
⎠
⎝2
⎠
2
2 ⎟
(24)
⎜
⎝
(26) ⎠
3
≦ a のとき， S (a ) = 0
ⅵ)
2
これより，
∫
1
−1
−
1
S (a ) da ＝ ∫ 2 0 da ＋ ∫
−1
0
−
1
2
2
2
1⎧
3⎛
1⎞
3⎛
1 ⎞ ⎫⎪
⎪ 3
−
−
+
＋
a
a
da
⎜
⎟
∫0 ⎨⎪ 4 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎬⎪ da
2 ⎝
2⎠
⎩
⎭
1
0
3
3
⎡ 3
⎡ 3⎛
3⎛
1⎞ ⎤
1⎞ ⎤
＝⎢
a−
⎜a + ⎟ ⎥ ＋ ⎢
⎜a − ⎟ ⎥ ＝
2 ⎠ ⎦⎥ 1 ⎣⎢ 4
6 ⎝
2 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ 6 ⎝
0
−
11
3
48
2
11
3 は，解答欄の(27)(28)の位置に該当するが，解答欄に当てはまらないため解答不能。
※ ⅵ)の解答
48
慶應義塾大学の HP 上に，以下の文が掲載されました。
「設問における解答欄(27)(28)の表記に不備があり、正答が記入できないことが判明しました。
」
「当該箇所について、その科目を選択した受験生全員が正解を解答したものとみなして加点いたします。
」
Ⅲ 解答・解説
(29)
(1) (0 , 2 ) で出会う確率は
2
(32)
1
2
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ＝
⎝2⎠ ⎝2⎠
(2 , 0) で出会う確率は
6
1
(30) (31)
(1 , 1) で出会う確率は 2 C1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝2⎠
2
2
2
6
1
(33) (34)
(35)
1
2
⎛1⎞
2 C1 ⎜ ⎟ ＝
⎝2⎠
0
4
(36) (37)
(2) 時刻
1
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ＝
⎝2⎠ ⎝2⎠
1
1
1 1 3
で出会う確率は
+ + =
2
16 16 4 8
時刻
(38) (39)
5
1
3
⎛ 3⎞ 3
で出会う確率は ⎜1 − ⎟ ⋅ =
2
⎝ 8⎠ 8
64
(40) (41)
時刻
5
で出会う確率は
2
7
2
⎛ 3⎞ 3
⎜1 − ⎟ ⋅ ＝
⎝ 8⎠ 8
5
5
1
2
(42) (43) (44)
(3) かかる時間の確率分布は以下の通り
時刻
確率
1
2
3
8
3
2
15
64
(45) (46) (47)
2
よって，求める期待値は
25
64
1 3 3 15
25
⋅ + ⋅ + 2⋅ ＝
2 8 2 64
64
1
6
9
1
2
8
(48) (49) (50)
※ Ⅲ(3)について，慶應義塾大学の HP 上に，以下の文が掲載されました。
「出題範囲外からの設問であることが判明しました。
」
「当該箇所について、その科目を選択した受験生全員が正解を解答したものとみなして加点いたします。
」
(51)
⎛
(4) (1) より，求める確率は ⎜⎜
⎝
5
8
12
⎞
⎟⎟
⎠
(52)
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Ⅳ 解答・解説
⎧ x + 5 y = 790
の交点は， A (
⎨
⎩ 3x + 4 y = 720
(53) (54) (55)
0
⎧ x + y = 200
の交点は， B ( 80 ,
⎨
⎩ 3x + 4 y = 720
A (40 , 150 )
(59) (60) (61)
1
2
5
1
0
0
)
)
200
α=
1
のとき
3
1
2
x y + ( x + 10 y )
ここで， x を固定， y を動かすと
3
3
1
0 ≦ y ≦ − x + 158 (0 ≦ x ≦ 40 )
5
3
0 ≦ y ≦ − x + 180 (40 ≦ x ≦ 80 )
4
k=
B (80 , 120 )
O
0
k = α x y + (1 − α )( x + 10 y ) とおく
y
158
4
(56) (57) (58)
,
x
(80 ≦ x ≦ 200)
0 ≦ y ≦ −x + 200
すなわち，k の最大値は
ⅰ) 0 ≦ x ≦ 40 のとき
k=
1 ⎛ 1
⎞⎫ 1
⎛ 1
⎞ 2⎧
x ⎜ − x + 158 ⎟ + ⎨ x + 10 ⎜ − x + 158 ⎟ ⎬ ＝
− x 2 + 780 x + 15800
3 ⎝ 5
3
5
15
⎠⎭
⎝
⎠
⎩
(
)
ⅱ) 40 ≦ x ≦ 80 のとき
k=
1 ⎛ 3
⎞⎫ 1
⎛ 3
⎞ 2⎧
x ⎜ − x + 180 ⎟ + ⎨ x + 10 ⎜ − x + 180 ⎟ ⎬ ＝
− 3 x 2 + 668 x + 14400
3 ⎝ 4
3
4
12
⎠⎭
⎝
⎠
⎩
(
)
ⅲ) 80 ≦ x ≦ 200 のとき
k=
1
2
1
x (− x + 200 ) + { x + 10 (− x + 200 ) }＝ (− x 2 + 182 x + 4000)
3
3
3
それぞれ微分すると
dk 1
= (− 2 x + 780) > 0
dx 15
dk 1
40 < x < 80 のとき
= (− 6 x + 668) > 0
dx 12
dk 1
80 < x < 200 のとき
= (− 2 x + 182) > 0
dx 3
dk
dk
≧ 0 ， 91 ≦ x < 200 のとき
≦0
よって， 80 < x ≦ 91 のとき
dx
dx
0 < x < 40 のとき
x = 40 , 80 において k は連続なので， (x , y ) = (
9
,
1
(62) (63)
1
0
9
)
で k は最大となる
(64) (65) (66)
村長が選択する点が線分 AB 上にあるためには， 40 ≦ x ≦ 80 で極大値を取ることが必要となる
⎧
⎛ 3
⎞
⎛ 3
⎞⎫ 1
k = α x ⎜ − x + 180 ⎟ + (1 − α ) ⎨ x + 10 ⎜ − x + 180 ⎟ ⎬ ＝ − 3α x 2 + (746α − 26) x + 7200 (1 − α )
⎝ 4
⎠
⎝ 4
⎠⎭ 4
⎩
{
}
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よって，
dk 1
= (− 6α x + 746α − 26)
dx 4
これより， 40 <
(67) (68)
373α − 13
< 80 これを解いて
3α
3
1
2
5
(72) (73)
<α <
3
3
1
133
(69) (70) (71)
このとき，線分 AB 上で k は最大となり，十分である
Ⅴ１解答・解説
1)
10
10
10
k =1
k =1
k =1
1
1
2
∑ (2k − 1) ＝ 4∑ k 2 − 4∑ k + 10 ＝ 4 ⋅ ⋅ 10 ⋅11 ⋅ 21 − 4 ⋅ ⋅ 10 ⋅11 + 10 ＝
20
2)
※ Ⅴ２は略
∑ (− 1)
k −1
k =1
2
3
1
3
0
(101)(102)(103)(104)
k ＝12 − 2 2 + 32 − 4 2 + L + 19 2 − 20 2
2
＝ −1
2
＝−
3)
6
− 22 − 32 − 42 − L − 192 − 202 + 2 (12 + 32 + L + 192 )
1
⋅ 20 ⋅ 21 ⋅ 41 + 2 ⋅ 1330 ＝ − 2 1 0
6
(105)(106)(107)(108)
a1 < a2 < L < a10 としても一般性を失わない
ここで， 0 <
x < y < z < w が成り立つとき
xz + yw − ( xy + zw) ＝ x (z − y ) − w ( z − y ) ＝ (x − w)( z − y ) < 0
xw + yz − ( xz + yw) ＝ x (w − z ) − y (w − z ) ＝ (x − y )(w − z ) < 0
よって， xw + yz < xz + yw < xy + zw が成り立つ．つまり
S が最小となるときは， b1 > b2 > L > b10 の順となり
al > bm （ l , m は1 ≦ l ≦10 ，1 ≦ m ≦10 をみたす自然数）となる箇所があれば，それを順次取り替える
ことで，より小さい値となる．すなわち
{ a n } : 1 , 2 , 3 , L , 10
10
{ bn } : 20 , 19 , 18 , L , 11
10
10
のときが最小となり
1
1
S = ∑ k (21 − k ) ＝ 21∑ k − ∑ k ＝ 21 ⋅ ⋅ 10 ⋅ 11 − ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 21 ＝
2
6
k =1
k =1
k =1
2
(109)(110)(111)
7
7
0
S が最大となるときは， b1 < b2 < L < b10 の順となり
al > bm （ l , m は1≦ l ≦ m ≦10 をみたす自然数）となる箇所があれば，それを順次取り替えることで，
より大きい値となる．よって
{ an }: 1 , 3 , 5 , L , 19
10
{bn }: 2 , 4 , 6 , L , 20
10
10
のときが最大となり
(112)(113)(114)(115)
1
1
S = ∑ (2k − 1) ⋅ 2k ＝ 4∑ k − 2∑ k ＝ 4 ⋅ ⋅10 ⋅11 ⋅ 21 − 2 ⋅ ⋅10 ⋅11 ＝ 1
6
2
k =1
k =1
k =1
2
4
3
0
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